1. Um traçado de uma rodovia possui duas curvas horizontais contendo um trecho de tangente entre elas. Foram escolhidos os raios das curvas, sendo: R1 = 521 metros e R2 = 365 metros. Neste trecho, a escolha da equipe de engenharia para a velocidade de projeto e para a superelevação máxima, para as duas curvas, são, respectivamente, de 100 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e de 10 \%. Nessas condições, em que o fator de atrito máximo fmáx é de 0,13 , verifique e demonstre por meio de cálculos, se os raios escolhidos são aceitáveis. Informe se sim ou não, e justifique sua resposta.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • R_1 = 521\\ \mathrm{m}.
    • R_2 = 365\\ \mathrm{m}.
    • Velocidade de projeto v_p = 100\\ \mathrm{km/h}.
    • Superelevação máxima e_{\max} = 10\% = 0{,}10.
    • Coeficiente de atrito máximo f_{\max} = 0{,}13.
  • O que se pede:
    • Verificar por cálculos se os raios R_1 e R_2 escolhidos são aceitáveis nas condições dadas (i.e., se permitem a velocidade de projeto com a superelevação e atrito disponíveis). Responder “sim” ou “não” para cada raio e justificar com cálculo.

Passo 2

Entendendo a física/ideia por trás (explicação didática, passo a passo).
Quando um veículo faz uma curva de raio R com velocidade v, precisa de uma aceleração centrípeta dirigida para o centro da curva dada por
\frac{v^2}{R}.
Essa aceleração é fornecida pela resultante das forças horizontais disponíveis: a componente lateral da reação normal devido à inclinação (superelevação) e a força de atrito lateral. Representando a superelevação por um ângulo \theta tal que
\tan\theta = e,
a análise das forças, no limite de atrito máximo, leva à expressão exata para a aceleração lateral máxima admissível:
\frac{v^2}{R} = g\;\frac{\tan\theta + f}{1 - f\,\tan\theta},
onde:
  • g é a aceleração da gravidade ( 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}),
  • e=\tan\theta é a superelevação (valor adimensional),
  • f é o coeficiente de atrito lateral disponível (adimensional).
Explicação do que cada termo representa, em linguagem simples:
  • \tan\theta (ou e) representa a parte da força lateral causada pela inclinação da pista (quanto mais inclinada, mais a normal contribui para a força centrípeta).
  • f é a contribuição extra oferecida pelo atrito entre pneu e pista.
  • O denominador 1 - f\tan\theta aparece na expressão exata porque a força de atrito é aplicada sobre uma superfície inclinada: há um efeito de acoplamento entre f e \tan\theta. Para e e f pequenos esse termo é próximo de 1, e a fórmula costuma ser aproximada por
\frac{v^2}{R} \approx g\,(e + f),
que é muito usada em projeto de estradas por ser simples e suficientemente precisa quando e\cdot f é pequeno.

Passo 3

Escolha da fórmula para usar e por quê.
  • O enunciado fornece e_{\max}=0{,}10 e f_{\max}=0{,}13. O produto e_{\max}\,f_{\max}=0{,}10\times0{,}13=0{,}013, que é pequeno (≈1{,}3%). Portanto a aproximação simples é bastante precisa, mas para rigor mostro os dois cálculos: o aproximado (fórmula simples) e o exato (fórmula com denominador). Vou comparar os resultados; ambos servem para verificar aceitabilidade.

Passo 4

Converter a velocidade para unidades SI e calcular v^2.
  • Converter 100\\ \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s}:
v = \frac{100}{3{,}6} = 27{,}777\ldots\\ \mathrm{m/s}.
  • Calcular v^2:
v^2 = \left(\frac{100}{3{,}6}\right)^{\!2} \approx 771{,}6049383\\ \mathrm{(m^2/s^2)}.

Passo 5

Cálculo do raio mínimo requerido usando a fórmula aproximada \dfrac{v^2}{R} \le g(e+f).
A condição de segurança (aproximada) é
\frac{v^2}{R} \le g\,(e+f).
Isolando R obtemos o raio mínimo
R_{\min,\text{approx}} = \frac{v^2}{g\,(e+f)}.
Substituindo os valores:
e+f = 0{,}10 + 0{,}13 = 0{,}23,
g\,(e+f) = 9{,}81 \times 0{,}23 = 2{,}2563\\ \mathrm{m/s^2},
R_{\min,\text{approx}} = \frac{771{,}6049383}{2{,}2563} \approx 341{,}98\\ \mathrm{m}.
Portanto, pela fórmula aproximada, o raio mínimo aceitável para v=100\\ \mathrm{km/h} com e=0{,}10 e f=0{,}13 é aproximadamente \,341{,}98\\ \mathrm{m}.\,

Passo 6

Cálculo do raio mínimo usando a expressão exata \dfrac{v^2}{R} = g\,\dfrac{e+f}{1 - e f}.
A expressão exata para o caso limite (direção do atrito apropriada) pode ser manipulada para dar:
R_{\min,\text{exato}} = \frac{v^2}{g}\,\frac{1 - e f}{e + f}.
Substituindo os números:
e f = 0{,}10 \times 0{,}13 = 0{,}013,
1 - e f = 1 - 0{,}013 = 0{,}987,
R_{\min,\text{exato}} = 341{,}98 \times 0{,}987 \approx 337{,}53\\ \mathrm{m}.
Observação: o valor exato é um pouco menor (mais permissivo) porque leva em conta o pequeno efeito do produto e f. A diferença entre aproximado e exato é pequena ( \approx 4{,}45\\ \mathrm{m}, ou cerca de 1{,}3\%).

Passo 7

Comparar os raios fornecidos com o raio mínimo e tirar conclusão.
  • Pelo cálculo aproximado: R_{\min,\text{approx}} \approx 341{,}98\\ \mathrm{m}.
  • Pelo cálculo exato: R_{\min,\text{exato}} \approx 337{,}53\\ \mathrm{m}.
Comparando:
  • R_1 = 521\\ \mathrm{m} > R_{\min}. Tem folga grande; portanto R_1 é aceitável.
  • R_2 = 365\\ \mathrm{m} > R_{\min}. É apenas um pouco maior que o limite, mas ainda maior que R_{\min}; portanto R_2 também é aceitável.
Para quantificar a margem de segurança (comparando com o valor aproximado):
\text{margem relativa de }R_2 \approx \frac{365 - 341{,}98}{341{,}98}\times 100\% \approx 6{,}7\%,
ou seja, R_2 tem cerca de 6{,}7\% a mais que o mínimo aproximado — não muita folga, mas suficiente sob os parâmetros dados.

Passo 8

Comentário final (bom senso de projeto)
  • Ambos os raios satisfazem a condição de segurança com v_p=100\\ \mathrm{km/h}, e_{\max}=0{,}10 e f_{\max}=0{,}13.
  • R_1 oferece folga ampla; R_2 é aceitável, porém com folga moderada — em projeto prático recomenda-se verificar fatores adicionais (condições climáticas, manutenção da pavimentação, possíveis veículos mais leves, qualidade do atrito) antes de confiar estritamente no valor mínimo. Mas, estritamente pelo enunciado e pelos valores dados, ambos são aceitáveis.

Resposta

\,R_1 = 521\\ \mathrm{m}:\\ \text{aceitável}á
\,R_2 = 365\\ \mathrm{m}:\\ \text{aceitável}á

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