- Um traçado de uma rodovia possui duas curvas horizontais contendo um trecho de tangente entre elas. Foram escolhidos os raios das curvas, sendo: R1 = 521 metros e R2 = 365 metros. Neste trecho, a escolha da equipe de engenharia para a velocidade de projeto e para a superelevação máxima, para as duas curvas, são, respectivamente, de
e de
. Nessas condições, em que o fator de atrito máximo fmáx é de 0,13 , verifique e demonstre por meio de cálculos, se os raios escolhidos são aceitáveis. Informe se sim ou não, e justifique sua resposta.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
-
. -
. - Velocidade de projeto
. - Superelevação máxima
. - Coeficiente de atrito máximo
.
-
- O que se pede:
- Verificar por cálculos se os raios
e escolhidos são aceitáveis nas condições dadas (i.e., se permitem a velocidade de projeto com a superelevação e atrito disponíveis). Responder “sim” ou “não” para cada raio e justificar com cálculo.
- Verificar por cálculos se os raios
Passo 2
Entendendo a física/ideia por trás (explicação didática, passo a passo).
Quando um veículo faz uma curva de raio
com velocidade
, precisa de uma aceleração centrípeta dirigida para o centro da curva dada por
Essa aceleração é fornecida pela resultante das forças horizontais disponíveis: a componente lateral da reação normal devido à inclinação (superelevação) e a força de atrito lateral. Representando a superelevação por um ângulo
tal que
a análise das forças, no limite de atrito máximo, leva à expressão exata para a aceleração lateral máxima admissível:
onde:
-
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a superelevação (valor adimensional), -
é o coeficiente de atrito lateral disponível (adimensional).
Explicação do que cada termo representa, em linguagem simples:
-
(ou ) representa a parte da força lateral causada pela inclinação da pista (quanto mais inclinada, mais a normal contribui para a força centrípeta). -
é a contribuição extra oferecida pelo atrito entre pneu e pista. - O denominador
aparece na expressão exata porque a força de atrito é aplicada sobre uma superfície inclinada: há um efeito de acoplamento entre e . Para e pequenos esse termo é próximo de , e a fórmula costuma ser aproximada por
que é muito usada em projeto de estradas por ser simples e suficientemente precisa quando
é pequeno.
Passo 3
Escolha da fórmula para usar e por quê.
- O enunciado fornece
e . O produto , que é pequeno (≈1{,}3%). Portanto a aproximação simples é bastante precisa, mas para rigor mostro os dois cálculos: o aproximado (fórmula simples) e o exato (fórmula com denominador). Vou comparar os resultados; ambos servem para verificar aceitabilidade.
Passo 4
Converter a velocidade para unidades SI e calcular
.
- Converter
para :
- Calcular
:
Passo 5
Cálculo do raio mínimo requerido usando a fórmula aproximada
.
A condição de segurança (aproximada) é
Isolando
obtemos o raio mínimo
Substituindo os valores:
Portanto, pela fórmula aproximada, o raio mínimo aceitável para
com
e
é aproximadamente
Passo 6
Cálculo do raio mínimo usando a expressão exata
.
A expressão exata para o caso limite (direção do atrito apropriada) pode ser manipulada para dar:
Substituindo os números:
Observação: o valor exato é um pouco menor (mais permissivo) porque leva em conta o pequeno efeito do produto
. A diferença entre aproximado e exato é pequena (
, ou cerca de
).
Passo 7
Comparar os raios fornecidos com o raio mínimo e tirar conclusão.
- Pelo cálculo aproximado:
. - Pelo cálculo exato:
.
Comparando:
-
. Tem folga grande; portanto é aceitável. -
. É apenas um pouco maior que o limite, mas ainda maior que ; portanto também é aceitável.
Para quantificar a margem de segurança (comparando com o valor aproximado):
ou seja,
tem cerca de
a mais que o mínimo aproximado — não muita folga, mas suficiente sob os parâmetros dados.
Passo 8
Comentário final (bom senso de projeto)
- Ambos os raios satisfazem a condição de segurança com
, e . -
oferece folga ampla; é aceitável, porém com folga moderada — em projeto prático recomenda-se verificar fatores adicionais (condições climáticas, manutenção da pavimentação, possíveis veículos mais leves, qualidade do atrito) antes de confiar estritamente no valor mínimo. Mas, estritamente pelo enunciado e pelos valores dados, ambos são aceitáveis.