Construa a tabela-verdade para cada uma das seguintes proposições compostas:
(p \leftrightarrow q) \wedge(p \vee q)

Passo 1

O enunciado pede que eu construa a tabela-verdade da proposição composta (p \leftrightarrow q) \wedge (p \vee q).
Informações dadas: as duas proposições atômicas são p e q. A expressão a ser analisada é (p \leftrightarrow q) \wedge (p \vee q).
Pergunta a responder: para cada combinação de valores de verdade de p e q, qual é o valor de verdade de (p \leftrightarrow q) \wedge (p \vee q)?

Passo 2

Antes de montar a tabela-verdade, vou lembrar (explicar) como funcionam os conectivos que aparecem na fórmula.
  • Bicondicional p \leftrightarrow q: é verdadeiro exatamente quando p e q têm o mesmo valor de verdade (ou os dois verdadeiros, ou os dois falsos). Em símbolos: p \leftrightarrow q é V se (p=V \text{ e } q=V) ou (p=F \text{ e } q=F); é F caso contrário.
  • Disjunção p \vee q: é verdadeira quando pelo menos uma das proposições p ou q é verdadeira. Ou seja, p \vee q é F somente quando p=F e q=F; nos demais casos é V.
  • Conjunção \alpha \wedge \beta: é verdadeira somente quando as duas proposições \alpha e \beta forem verdadeiras. Caso contrário é falsa.
Vou usar essas regras linha a linha na tabela.

Passo 3

Método: listar todas as combinações possíveis de verdade para p e q (são 2^2=4 combinações) e calcular as colunas intermediárias p \leftrightarrow q e p \vee q, depois a coluna final (p \leftrightarrow q) \wedge (p \vee q). As combinações são, em ordem usual: (p,q) = (V,V), (V,F), (F,V), (F,F).

Passo 4

Linha 1: suponha p=V e q=V.
  • p \leftrightarrow q: aqui p e q têm o mesmo valor (ambos V), então p \leftrightarrow q = V.
  • p \vee q: pelo menos um é verdadeiro (na verdade ambos), então p \vee q = V.
  • Conjunção final: (p \leftrightarrow q) \wedge (p \vee q) = V \wedge V = V.

Passo 5

Linha 2: suponha p=V e q=F.
  • p \leftrightarrow q: agora têm valores diferentes, então p \leftrightarrow q = F.
  • p \vee q: pelo menos um é verdadeiro ( p é V ), então p \vee q = V.
  • Conjunção final: (p \leftrightarrow q) \wedge (p \vee q) = F \wedge V = F.

Passo 6

Linha 3: suponha p=F e q=V.
  • p \leftrightarrow q: valores diferentes, então p \leftrightarrow q = F.
  • p \vee q: pelo menos um é verdadeiro ( q é V ), então p \vee q = V.
  • Conjunção final: (p \leftrightarrow q) \wedge (p \vee q) = F \wedge V = F.

Passo 7

Linha 4: suponha p=F e q=F.
  • p \leftrightarrow q: ambos iguais (ambos F), então p \leftrightarrow q = V.
  • p \vee q: nenhum é verdadeiro, então p \vee q = F.
  • Conjunção final: (p \leftrightarrow q) \wedge (p \vee q) = V \wedge F = F.

Passo 8

Observação final (útil na prova): a coluna final tem valores V,F,F,F nas quatro linhas, que é exatamente a mesma coluna da conjunção p \wedge q. Portanto (p \leftrightarrow q) \wedge (p \vee q) é logicamente equivalente a p \wedge q.

Resposta

p\ \ q\ \ (p \leftrightarrow q) \wedge (p \vee q)\n
V\ \ V\ \ V\n
V\ \ F\ \ F\n
F\ \ V\ \ F\n
F\ \ F\ \ F

Exercícios relacionados