( 2,5 pontos) Encontre a transformada inversa de Laplace da função:
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre a transformada inversa de Laplace da função
Informações dadas e o que se quer:
- A função que temos é
. - A pergunta é: qual é
para ? - Observação útil imediata: o denominador
pode ser fatorado (isso vai aparecer nos próximos passos).
Passo 2
Fatoro o polinômio quadrático do denominador para ver as raízes/polos explicitamente. Calculo:
Logo posso reescrever
como
Isto mostra que há três fatores lineares distintos no denominador:
,
e
. Para inverter a transformada, uma estratégia simples e direta é decompor
em frações parciais com termos do tipo
.
Passo 3
Configuro a decomposição em frações parciais. Proponho que existam constantes
,
e
tais que
Multiplico ambos os lados por
para obter uma identidade polinomial:
Essa igualdade vale para todo
. Vou encontrar
diretamente avaliando essa igualdade em valores convenientes de
(método da “cobertura”/substituição) porque os fatores são lineares e distintos — isso simplifica muito as contas.
Passo 4
Encontro
avaliando a identidade em
. Substituo
na igualdade do passo anterior:
Isto reduz para
logo
Passo 5
Encontro
avaliando em
. Substituo
:
Isto reduz para
portanto
Passo 6
Encontro
avaliando em
. Substituo
:
Isto reduz para
logo
Passo 7
Agora que achei
,
e
, escrevo a decomposição completa:
Ou de forma mais limpa,
Passo 8
Explico agora a regra de inversão que vou usar (aula rápida): sabemos as inversas básicas
Também usamos linearidade: a transformada inversa de uma soma é a soma das transformadas inversas, e constantes saem da transformação. Aplicando isso termo a termo em
,
- Para
a inversa é . - Para
a inversa é . - Para
a inversa é .
Portanto a função no domínio do tempo é
Passo 9
Faço uma verificação rápida (checagem por substituição): tomo a transformada de
e verifico que volta para
. Usando
e
, temos
o que coincide com
. A resposta está consistente.