( 2,5 pontos) Encontre a transformada inversa de Laplace da função:
F(s)=\frac{1}{s\left(s^{2}+3 s+2\right)}

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a transformada inversa de Laplace da função
F(s)=\frac{1}{s\left(s^{2}+3 s+2\right)}.
Informações dadas e o que se quer:
  • A função que temos é F(s)=\dfrac{1}{s(s^{2}+3s+2)}.
  • A pergunta é: qual é f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} para t>0?
  • Observação útil imediata: o denominador s^{2}+3s+2 pode ser fatorado (isso vai aparecer nos próximos passos).

Passo 2

Fatoro o polinômio quadrático do denominador para ver as raízes/polos explicitamente. Calculo:
s^{2}+3s+2=(s+1)(s+2).
Logo posso reescrever F(s) como
F(s)=\frac{1}{s(s+1)(s+2)}.
Isto mostra que há três fatores lineares distintos no denominador: s, s+1 e s+2. Para inverter a transformada, uma estratégia simples e direta é decompor F(s) em frações parciais com termos do tipo \dfrac{A}{s}+\dfrac{B}{s+1}+\dfrac{C}{s+2}.

Passo 3

Configuro a decomposição em frações parciais. Proponho que existam constantes A, B e C tais que
\frac{1}{s(s+1)(s+2)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{s+2}.
Multiplico ambos os lados por s(s+1)(s+2) para obter uma identidade polinomial:
1 = A(s+1)(s+2) + B s (s+2) + C s (s+1).
Essa igualdade vale para todo s. Vou encontrar A,B,C diretamente avaliando essa igualdade em valores convenientes de s (método da “cobertura”/substituição) porque os fatores são lineares e distintos — isso simplifica muito as contas.

Passo 4

Encontro A avaliando a identidade em s=0. Substituo s=0 na igualdade do passo anterior:
1 = A(0+1)(0+2) + B\cdot 0\cdot(0+2) + C\cdot 0\cdot(0+1).
Isto reduz para
1 = A\cdot 1\cdot 2 = 2A,
logo
A=\frac{1}{2}.

Passo 5

Encontro B avaliando em s=-1. Substituo s=-1:
1 = A\cdot 0\cdot( -1+2) + B\cdot (-1)\cdot(-1+2) + C\cdot (-1)\cdot 0.
Isto reduz para
1 = B\cdot (-1)\cdot 1 = -B,
portanto
B=-1.

Passo 6

Encontro C avaliando em s=-2. Substituo s=-2:
1 = A\cdot(-2+1)\cdot 0 + B\cdot (-2)\cdot 0 + C\cdot (-2)\cdot(-2+1).
Isto reduz para
1 = C\cdot (-2)\cdot(-1) = 2C,
logo
C=\frac{1}{2}.

Passo 7

Agora que achei A, B e C, escrevo a decomposição completa:
\frac{1}{s(s+1)(s+2)}=\frac{1/2}{s}+\frac{-1}{s+1}+\frac{1/2}{s+2}.
Ou de forma mais limpa,
F(s)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s+2}.

Passo 8

Explico agora a regra de inversão que vou usar (aula rápida): sabemos as inversas básicas
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s}\right\}=1,\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+a}\right\}=e^{-a t}\quad(\text{para }t>0).
Também usamos linearidade: a transformada inversa de uma soma é a soma das transformadas inversas, e constantes saem da transformação. Aplicando isso termo a termo em F(s),
  • Para \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{s} a inversa é \dfrac{1}{2}.
  • Para -\dfrac{1}{s+1} a inversa é -e^{-t}.
  • Para \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{s+2} a inversa é \dfrac{1}{2}e^{-2t}.
Portanto a função no domínio do tempo é
f(t)=\frac{1}{2}-e^{-t}+\frac{1}{2}e^{-2t},\qquad t>0.

Passo 9

Faço uma verificação rápida (checagem por substituição): tomo a transformada de f(t) e verifico que volta para F(s). Usando \mathcal{L}\{1\}=1/s e \mathcal{L}\{e^{-a t}\}=1/(s+a), temos
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s+2}=\frac{1}{s(s+1)(s+2)},
o que coincide com F(s). A resposta está consistente.

Resposta

\displaystyle f(t)=\frac{1}{2}-e^{-t}+\frac{1}{2}e^{-2t},\quad t>0.

Exercícios relacionados