1. Responda à seguinte pergunta, justificando sua resposta: “Qual a relação dos valores lógicos de duas sentenças equivalentes?”

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a relação entre os valores lógicos de duas sentenças que são equivalentes.
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
  • Há duas sentenças proposicionais, chamar aqui de \varphi e \psi.
  • Elas são descritas como “equivalentes” (o que precisa ser explicado e justificado).
  • A tarefa é dizer e justificar como os valores de verdade de \varphi e \psi se relacionam.

Passo 2

O que significa “valor lógico” e “atribuição/valoração” (explicação passo a passo).
  • Uma sentença proposicional tem um valor de verdade: verdadeira ou falsa. Vou usar os símbolos \text{V} (verdadeira) e \text{F} (falsa).
  • Uma valoração (ou atribuição) é uma regra que dá, para cada proposição atômica, um valor em \{\text{V},\text{F}\}. Denoto uma valoração por v. Então v(\varphi) significa "o valor de verdade de \varphi quando usamos a valoração v".
  • Exemplo concreto e simples: se p é uma proposição atômica, uma valoração v pode ser v(p)=\text{V} ou v(p)=\text{F}. Para fórmulas mais complexas, o valor é calculado seguindo as regras das conectivas lógicas (por exemplo, \land,\lor,\neg,\to,\leftrightarrow).

Passo 3

Definição precisa de equivalência lógica e sua interpretação.
  • Dizemos que \varphi e \psi são logicamente equivalentes quando, para toda valoração v, tem-se
v(\varphi)=v(\psi).
  • Outra maneira equivalente de escrever isso é afirmar que o bicondicional \varphi\leftrightarrow\psi é uma tautologia, ou seja:
\models \varphi\leftrightarrow\psi.
  • Interpretação em linguagem corrente: “sempre que \varphi for verdadeira, \psi também será verdadeira; e sempre que \varphi for falsa, \psi também será falsa” — isto vale para qualquer escolha de valores dos átomos (qualquer valoração).

Passo 4

Mostrando na prática com um exemplo conhecido (De Morgan) para fixar a ideia.
  • Considere as duas sentenças
    \neg(p\land q) e \neg p\lor\neg q.
  • Vamos montar a tabela de verdade (cada linha é uma valoração diferente para p e q):
\begin{array}{cc|c|c} p & q & \neg(p\land q) & \neg p\lor\neg q\\\ \hline \text{V} & \text{V} & \text{F} & \text{F}\\\ \text{V} & \text{F} & \text{V} & \text{V}\\\ \text{F} & \text{V} & \text{V} & \text{V}\\\ \text{F} & \text{F} & \text{V} & \text{V} \end{array}
  • Observação: as colunas de \neg(p\land q) e de \neg p\lor\neg q coincidem em todas as linhas. Isso mostra que, para qualquer valoração v, v(\neg(p\land q))=v(\neg p\lor\neg q). Portanto essas duas sentenças são equivalentes.
  • Esse exemplo ilustra a regra geral: duas sentenças equivalentes têm os mesmos valores de verdade em todas as valorações.

Passo 5

Consequências e formas alternativas de ver a relação (dicas para prova).
  • Equivalentemente à igualdade de valores em todas as valorações, pode-se dizer logicamente que
\varphi\models\psi\quad\text{e}\quad\psi\models\varphi,
ou seja, cada uma semanticalmente implica a outra. Na prática de prova isso dá duas estratégias para mostrar equivalência:
  1. construir tabela de verdade e comparar colunas (bom quando há poucos átomos);
  2. usar leis e equivalências conhecidas (De Morgan, distributiva, etc.) para transformar \varphi em \psi.
  • Lembrete prático e encorajador: se na prova faltar tempo, procurar transformações algébricas de sentenças (trocar \land por \lor via De Morgan, eliminar implicações, colocar em forma normal) costuma ser mais rápido do que tabelas longas.

Resposta

Duas sentenças logicamente equivalentes têm sempre o mesmo valor de verdade sob qualquer valoração; isto é, para toda valoração v vale v(\varphi)=v(\psi) (equivalente a \models \varphi\leftrightarrow\psi).

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