Construa tabelas com as freqüências relativas (proporções):
(a) em relação ao total geral;
(b) em relação ao total de cada linha;
(c) ou em relação ao total de cada coluna.

Passo 1

O enunciado pede que sejam construídas tabelas de frequências relativas (proporções) de três tipos:
  • (a) em relação ao total geral;
  • (b) em relação ao total de cada linha;
  • (c) em relação ao total de cada coluna.
Informações relevantes (não foi dado um conjunto de dados explícito), então vou usar um exemplo numérico simples e explicitar tudo para que você saiba aplicar a qualquer tabela de contagem. Os dados do exemplo representam uma tabela de contagem com duas linhas e três colunas (os números são as frequências absolutas):
  • Linha 1: \,30,\;20,\;10\,.
  • Linha 2: \,20,\;40,\;30\,.
A partir desses valores vamos construir as três tabelas de proporções pedidas.

Passo 2

Definições e notação (explicando o que cada símbolo significa):
  • Seja \,n_{ij}\, o número de observações na célula correspondente à linha i e coluna j.
  • Seja \,n_{i\cdot}=\sum_{j} n_{ij}\, o total da linha i.
  • Seja \,n_{\cdot j}=\sum_{i} n_{ij}\, o total da coluna j.
  • Seja \,N=\sum_{i}\sum_{j} n_{ij}\, o total geral (soma de todas as células).
Fórmulas das proporções:
  • Proporção em relação ao total geral (tabela (a)): a célula (i,j) terá valor
p_{ij}^{(a)}=\dfrac{n_{ij}}{N}.
  • Proporção em relação ao total da linha i (tabela (b)): a célula (i,j) terá valor
p_{ij}^{(b)}=\dfrac{n_{ij}}{n_{i\cdot}}.
  • Proporção em relação ao total da coluna j (tabela (c)): a célula (i,j) terá valor
p_{ij}^{\text{(c)}}=\dfrac{n_{ij}}{n_{\cdot j}}.
Comentário didático rápido: cada proporção mostra uma “visão” diferente dos dados.
  • p_{ij}^{(a)} diz “que fração do total geral está nessa célula”;
  • p_{ij}^{(b)} diz “dentro da linha, qual fração está nessa coluna” (útil para comparar colunas condicionadas à linha);
  • p_{ij}^{\text{(c)}} diz “dentro da coluna, qual fração está nessa linha” (útil para comparar linhas condicionadas à coluna).

Passo 3

Calculemos os totais do exemplo (passo a passo, sem pular contas).
Células dadas:
n_{11}=30,\quad n_{12}=20,\quad n_{13}=10,
n_{21}=20,\quad n_{22}=40,\quad n_{23}=30.
Totais das linhas:
n_{1\cdot}=n_{11}+n_{12}+n_{13}=30+20+10=60,
n_{2\cdot}=n_{21}+n_{22}+n_{23}=20+40+30=90.
Totais das colunas:
n_{\cdot 1}=n_{11}+n_{21}=30+20=50,
n_{\cdot 2}=n_{12}+n_{22}=20+40=60,
n_{\cdot 3}=n_{13}+n_{23}=10+30=40.
Total geral:
N=n_{1\cdot}+n_{2\cdot}=60+90=150.
Verificação rápida: \,n_{\cdot 1}+n_{\cdot 2}+n_{\cdot 3}=50+60+40=150=N\, (coincide, está tudo certo).

Passo 4

Construção da tabela (a): proporções em relação ao total geral. Aplicar \,p_{ij}^{(a)}=n_{ij}/N\, célula a célula.
Cálculos:
p_{11}^{(a)}=\dfrac{30}{150}=0,200,
p_{12}^{(a)}=\dfrac{20}{150}\approx0,133,
p_{13}^{(a)}=\dfrac{10}{150}\approx0,067,
p_{21}^{(a)}=\dfrac{20}{150}\approx0,133,
p_{22}^{(a)}=\dfrac{40}{150}\approx0,267,
p_{23}^{(a)}=\dfrac{30}{150}=0,200.
Checagem: soma de todas as células
0,200+0,133+0,067+0,133+0,267+0,200=1,000,
ou seja, as proporções somam 1 como esperado.

Passo 5

Construção da tabela (b): proporções em relação ao total de cada linha. Aplicar \,p_{ij}^{(b)}=n_{ij}/n_{i\cdot}.
Linha 1 ( n_{1\cdot}=60):
p_{11}^{(b)}=\dfrac{30}{60}=0,500,
p_{12}^{(b)}=\dfrac{20}{60}\approx0,333,
p_{13}^{(b)}=\dfrac{10}{60}\approx0,167.
Verificação linha 1:
0,500+0,333+0,167=1,000.
Linha 2 ( n_{2\cdot}=90):
p_{21}^{(b)}=\dfrac{20}{90}\approx0,222,
p_{22}^{(b)}=\dfrac{40}{90}\approx0,444,
p_{23}^{(b)}=\dfrac{30}{90}=0,333.
Verificação linha 2:
0,222+0,444+0,333\approx0,999\\ (\text{diferença por arred.}),\\ \text{aproxima }1,000.ç
Interpretação prática: por exemplo \,p_{11}^{(b)}=0,500\, significa que na linha 1 metade das observações está na coluna 1.

Passo 6

Construção da tabela (c): proporções em relação ao total de cada coluna. Aplicar \,p_{ij}^{\text{(c)}}=n_{ij}/n_{\cdot j}.
Coluna 1 ( n_{\cdot 1}=50):
p_{11}^{\text{(c)}}=\dfrac{30}{50}=0,600,
p_{21}^{\text{(c)}}=\dfrac{20}{50}=0,400.
Verificação coluna 1:
0,600+0,400=1,000.
Coluna 2 ( n_{\cdot 2}=60):
p_{12}^{\text{(c)}}=\dfrac{20}{60}\approx0,333,
p_{22}^{\text{(c)}}=\dfrac{40}{60}\approx0,667.
Verificação coluna 2:
0,333+0,667=1,000.
Coluna 3 ( n_{\cdot 3}=40):
p_{13}^{\text{(c)}}=\dfrac{10}{40}=0,250,
p_{23}^{\text{(c)}}=\dfrac{30}{40}=0,750.
Verificação coluna 3:
0,250+0,750=1,000.
Interpretação prática: por exemplo \,p_{23}^{\text{(c)}}=0,750\, significa que 75\% das observações da coluna 3 estão na linha 2.

Passo 7

Dicas de como aplicar isso rápido na prova:
  • Primeiro compute os totais (linhas, colunas e geral). Esses são os números que vão no denominador.
  • Para a tabela relativa ao total geral: divida cada célula por N.
  • Para a tabela por linhas: divida cada célula pelo total da sua linha.
  • Para a tabela por colunas: divida cada célula pelo total da sua coluna.
  • Faça a verificação final: somas das proporções devem ser 1 na tabela (a) quando somar todas as células; na tabela (b) cada linha soma 1; na tabela (c) cada coluna soma 1.
  • Use frações simples quando der, ou arredonde com 3 casas decimais como aqui para ficar legível.

Passo 8

Resumo prático das fórmulas (cole na sua folha de fórmulas):
p_{ij}^{(a)}=\dfrac{n_{ij}}{N},\qquad p_{ij}^{(b)}=\dfrac{n_{ij}}{n_{i\cdot}},\qquad p_{ij}^{\text{(c)}}=\dfrac{n_{ij}}{n_{\cdot j}}.

Resposta

(a) Tabela de proporções em relação ao total geral N=150:
\begin{array}{c|ccc|c} & \text{Col 1} & \text{Col 2} & \text{Col 3} & \text{Total} \\\ \hline \text{Linha 1} & 0,200 & 0,133 & 0,067 & 0,400 \\\ \text{Linha 2} & 0,133 & 0,267 & 0,200 & 0,600 \\\ \hline \text{Total} & 0,333 & 0,400 & 0,267 & 1,000 \end{array}
(b) Tabela de proporções em relação ao total de cada linha:
\begin{array}{c|ccc|c} & \text{Col 1} & \text{Col 2} & \text{Col 3} & \text{Total linha} \\\ \hline \text{Linha 1} & 0,500 & 0,333 & 0,167 & 1,000 \\\ \text{Linha 2} & 0,222 & 0,444 & 0,333 & 1,000 \end{array}
(c) Tabela de proporções em relação ao total de cada coluna:
\begin{array}{c|ccc} & \text{Col 1} & \text{Col 2} & \text{Col 3} \\ \hline \text{Linha 1} & 0,600 & 0,333 & 0,250 \\ \text{Linha 2} & 0,400 & 0,667 & 0,750 \\ \hline \text{Total coluna} & 1,000 & 1,000 & 1,000 \end{array}

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