Construa um triângulo de lados 10 \mathrm{~cm}, 8 \mathrm{~cm} e 6 cm e determine seu incentro.

Passo 1

O enunciado pede: construir um triângulo com lados 10\\ \mathrm{cm}, 8\\ \mathrm{cm} e 6\\ \mathrm{cm} e determinar o seu incentro (ou seja, o ponto onde se cruzam as bissetrizes internas dos ângulos do triângulo).
Informações dadas: os comprimentos dos lados são 10, 8 e 6 centímetros.
Decisão de notação (apenas para organizar a construção): seja A, B e C os vértices do triângulo com \overline{AB}=10\\ \mathrm{cm}, \overline{AC}=6\\ \mathrm{cm} e \overline{BC}=8\\ \mathrm{cm}. O que precisamos encontrar: as instruções de construção do triângulo e a posição do incentro I.

Passo 2

Construção geométrica do triângulo (passos com régua e compasso):
  1. Desenhe um segmento \overline{AB} de comprimento 10\\ \mathrm{cm}. Marque os pontos extremos como A e B.
  2. Com centro em A e raio 6\\ \mathrm{cm}, faça um arco (círculo). Com centro em B e raio 8\\ \mathrm{cm}, faça outro arco. Os dois arcos se intersectam em dois pontos simétricos; escolha o ponto acima da reta AB e chame-o de C. Assim obtém-se o triângulo ABC com \overline{AC}=6 e \overline{BC}=8.
  3. Para localizar o incentro I, construa duas bissetrizes internas quaisquer (por exemplo, as bissetrizes dos ângulos em A e em B):
    • Para bissetriz em A: com centro em A faça um arco que corte os lados AB e AC em dois pontos P e Q. Com centros em P e Q e o mesmo raio maior que AP, trace dois arcos que se cruzem em um ponto X dentro do ângulo \angle A. A reta AX é a bissetriz de \angle A.
    • Repita procedimento em B para obter a bissetriz de \angle B.
  4. O ponto de interseção das duas bissetrizes (a de A e a de B) é o incentro I. Marque I.
  5. Opcional: com centro em I e raio a distância perpendicular de I a AB, trace a circunferência inscrita (incírculo) que tangencia os três lados.
Esses passos garantem a construção prática do triângulo e do incentro. A seguir vou calcular coordenadas exatas para localizar numericamen­te C e I, o que também confirma a construção prática.

Passo 3

Colocar o triângulo em um sistema de coordenadas para calcular pontos exatos (ajuda a verificar a construção). Escolho colocar \,A=(0,0)\, e \,B=(10,0)\, (pois \overline{AB}=10). Seja C=(x,y) com y>0. Das distâncias conhecidas temos as equações dos círculos centrados em A e B:
x^{2}+y^{2}=6^{2}=36
(x-10)^{2}+y^{2}=8^{2}=64.
Subtraindo a primeira da segunda eliminamos y^{2}:
(x-10)^{2}-x^{2}=64-36=28.
Desenvolvendo:
x^{2}-20x+100-x^{2}=-20x+100=28.
Logo
-20x=-72\quad\Rightarrow\quad x=\frac{72}{20}=3{,}6.
Substituindo em x^{2}+y^{2}=36:
y^{2}=36-(3{,}6)^{2}=36-12{,}96=23{,}04,
y=\sqrt{23{,}04}=4{,}8.
Portanto C=(3{,}6,\,4{,}8). Esses números confirmam que o ponto C é o da interseção dos arcos feitos no passo 2.

Passo 4

Determinar o incentro usando a fórmula das coordenadas de incentro (método algébrico que confirma a interseção das bissetrizes). Primeiro, explicação da fórmula: se a=\overline{BC}, b=\overline{CA} e c=\overline{AB}, então as coordenadas do incentro I são a média ponderada dos vértices com pesos iguais aos comprimentos dos lados opostos:
I=\frac{aA+bB+cC}{a+b+c}.
Essa fórmula vem do fato de que as bissetrizes internas resultam em coordenadas barycêntricas proporcionais aos comprimentos dos lados; é uma forma prática de obter o ponto de interseção. No nosso caso:
a=BC=8,\qquad b=CA=6,\qquad c=AB=10,
e A=(0,0), B=(10,0), C=(3{,}6,\,4{,}8). O denominador é a+b+c=8+6+10=24. Calculamos as coordenadas de I:
I_x=\frac{8\cdot 0 + 6\cdot 10 + 10\cdot 3{,}6}{24}=\frac{0+60+36}{24}=\frac{96}{24}=4,
I_y=\frac{8\cdot 0 + 6\cdot 0 + 10\cdot 4{,}8}{24}=\frac{48}{24}=2.
Portanto I=(4,\,2).

Passo 5

Verificações e interpretação geométrica (para você poder checar na construção com régua e compasso):
  1. A distância perpendicular de I ao lado AB (que é a abscissa y de I, pois AB está em y=0) é 2. Esse valor é o raio do incírculo (inradius).
  2. Podemos confirmar r também pela fórmula r=\dfrac{\text{área}}{s}á, onde s é o semiperímetro. A área do triângulo pode ser calculada por \tfrac{1}{2}\cdot AB\cdot \text{altura}. A altura relativa a AB é 4{,}8, então
\text{Área}=\tfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 4{,}8=24.Á
O semiperímetro é
s=\frac{10+8+6}{2}=12.
Logo
r=\frac{\text{Área}}{s}=\frac{24}{12}=2,Á
o que coincide com a coordenada y do incentro e confirma I=(4,2).
3. Na construção prática, se você traçar as bissetrizes de A e B conforme no passo 2, o ponto de interseção resultante terá exatamente essa posição relativa (4 cm à direita de A sobre o eixo escolhido e 2 cm acima de AB).

Resposta

Incentro: (4,2) cm (no sistema com A=(0,0) e B=(10,0)).
Raio do círculo inscrito (inradius): 2 cm.

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