Construir um triângulo equilátero, sendo dada a medida de um lado (lado medindo 4 cm ).
Passo 1
O enunciado pede: construir um triângulo equilátero sabendo a medida de um lado, que é
.
Informações dadas: um segmento de comprimento . Para fixar notação, suponha que esse segmento seja
e que
.
Pergunta a responder: construir, com régua e compasso, um triângulo equilátero cujos lados medem e cujo um dos lados é exatamente o segmento
.
Informações dadas: um segmento de comprimento
Pergunta a responder: construir, com régua e compasso, um triângulo equilátero cujos lados medem
Passo 2
O que significa “triângulo equilátero”?
Definição: um triângulo é equilátero se todos os seus lados têm a mesma medida. Logo, se queremos construir um triângulo equilátero com lado , precisamos encontrar um ponto
tal que
Definição: um triângulo é equilátero se todos os seus lados têm a mesma medida. Logo, se queremos construir um triângulo equilátero com lado
Em palavras: o ponto
deve estar à mesma distância de
que
está de
e à mesma distância de
que
está de
.
Passo 3
Ideia geométrica principal (intuição e justificativa):
O conjunto de pontos que estão a uma distância fixa de um ponto é uma circunferência de centro
e raio igual a essa distância. Assim, os pontos à distância
de
pertencem à circunferência de centro
e raio
. Analogamente para
. Então, as interseções das duas circunferências (a de centro
e raio
e a de centro
e raio
) são pontos que satisfazem simultaneamente
e
. Qualquer uma dessas interseções é um candidato para o vértice
do triângulo equilátero.
O conjunto de pontos que estão a uma distância fixa de um ponto
Passo 4
Ferramentas e preparativos práticos (o que usar e como preparar):
- Use régua sem marcações (apenas para traçar retas) e compasso.
- Tenha o segmento
desenhado com . Se ainda não estiver desenhado: marque um ponto , coloque a régua e marque um ponto a de e trace o segmento . - Ajuste o compasso com uma abertura exatamente igual ao comprimento do segmento
(coloque uma ponta do compasso em e a outra em para fixar a abertura).
Passo 5
Construção passo a passo (instruções práticas que você fará sobre o papel):
- Com a régua, desenhe o segmento
de comprimento . - Abra o compasso com a distância
(coloque uma ponta em e a outra em para ajustar). Agora a abertura vale . - Com o compasso centrado em
e com essa abertura, desenhe uma circunferência (ou apenas um arco) de raio . Esse é o conjunto dos pontos a distância de . - Sem mudar a abertura do compasso, coloque o centro em
e desenhe outra circunferência (ou arco) de raio . Esse é o conjunto dos pontos a distância de . - Observe que as duas circunferências se interceptam em dois pontos simétricos em relação ao segmento
. Escolha um dos pontos de interseção e chame-o de (por exemplo, o que fica “acima” do segmento). - Use a régua para traçar os segmentos
e . Pronto: os três segmentos , e formam um triângulo.
Passo 6
Justificativa matemática da correção da construção (por que isso garante um triângulo equilátero):
Pelo modo como escolhemos , ele pertence à circunferência centrada em
com raio
. Portanto
. Também pertence à circunferência centrada em
com o mesmo raio, logo
. Assim
Pelo modo como escolhemos
Pelo que vimos na definição, isso significa que o triângulo
é equilátero.
Passo 7
Como verificar rapidamente sem usar régua graduada:
Pegue o compasso com abertura . Coloque uma ponta em
e verifique se a outra ponta coincide com
; depois coloque uma ponta em
e verifique se a outra ponta coincide com
. Se ambos coincidirem, isso confirma que
e
.
Pegue o compasso com abertura
Passo 8
Observações práticas e dicas (truques para a prova e para não dar errado):
- Se as circunferências não se cruzarem, provavelmente você mexeu na abertura do compasso; refaça o ajuste.
- As duas interseções produzem dois triângulos equiláteros congruentes (um “em cima” e outro “embaixo” de
). Qualquer um serve. - Desenhe arcos maiores (ou círculos inteiros) se precisar facilitar a visualização. Trabalhe com calma e marque bem os pontos.
Passo 9
Exemplo rápido (mesmo procedimento com outro número, só para fixar):
Se o lado dado fosse , você faria exatamente os mesmos passos com
: abrir o compasso em
, traçar as duas circunferências e ligar uma interseção a
e
.
Se o lado dado fosse
Passo 10
Recapitulando em linguagem de prova (o que escrever se pedir justificativa):
Desenhe com
. Sejam
e
as circunferências de centros
e
e raio
. Seja
uma interseção de
e
. Então
e
, logo
e
é equilátero. Isso conclui a construção e sua justificativa.
Desenhe
Resposta
Triângulo equilátero
com
.