Construir um triângulo equilátero, sendo dada a medida de um lado (lado medindo 4 cm ).

Passo 1

O enunciado pede: construir um triângulo equilátero sabendo a medida de um lado, que é 4\\ \text{cm}.
Informações dadas: um segmento de comprimento 4\\ \text{cm}. Para fixar notação, suponha que esse segmento seja AB e que |AB|=4\\ \text{cm}.
Pergunta a responder: construir, com régua e compasso, um triângulo equilátero cujos lados medem 4\\ \text{cm} e cujo um dos lados é exatamente o segmento AB.

Passo 2

O que significa “triângulo equilátero”?
Definição: um triângulo é equilátero se todos os seus lados têm a mesma medida. Logo, se queremos construir um triângulo equilátero com lado AB, precisamos encontrar um ponto C tal que
|AC| = |AB| \quad\text{e}\quad |BC| = |AB|.
Em palavras: o ponto C deve estar à mesma distância de A que B está de A e à mesma distância de B que A está de B.

Passo 3

Ideia geométrica principal (intuição e justificativa):
O conjunto de pontos que estão a uma distância fixa de um ponto A é uma circunferência de centro A e raio igual a essa distância. Assim, os pontos à distância |AB| de A pertencem à circunferência de centro A e raio |AB|. Analogamente para B. Então, as interseções das duas circunferências (a de centro A e raio |AB| e a de centro B e raio |AB|) são pontos que satisfazem simultaneamente |AC|=|AB| e |BC|=|AB|. Qualquer uma dessas interseções é um candidato para o vértice C do triângulo equilátero.

Passo 4

Ferramentas e preparativos práticos (o que usar e como preparar):
  • Use régua sem marcações (apenas para traçar retas) e compasso.
  • Tenha o segmento AB desenhado com |AB|=4\\ \text{cm}. Se ainda não estiver desenhado: marque um ponto A, coloque a régua e marque um ponto B a 4\\ \text{cm} de A e trace o segmento AB.
  • Ajuste o compasso com uma abertura exatamente igual ao comprimento do segmento AB (coloque uma ponta do compasso em A e a outra em B para fixar a abertura).

Passo 5

Construção passo a passo (instruções práticas que você fará sobre o papel):
  1. Com a régua, desenhe o segmento AB de comprimento 4\\ \text{cm}.
  2. Abra o compasso com a distância AB (coloque uma ponta em A e a outra em B para ajustar). Agora a abertura vale |AB|=4\\ \text{cm}.
  3. Com o compasso centrado em A e com essa abertura, desenhe uma circunferência (ou apenas um arco) de raio AB. Esse é o conjunto dos pontos a distância 4\\ \text{cm} de A.
  4. Sem mudar a abertura do compasso, coloque o centro em B e desenhe outra circunferência (ou arco) de raio AB. Esse é o conjunto dos pontos a distância 4\\ \text{cm} de B.
  5. Observe que as duas circunferências se interceptam em dois pontos simétricos em relação ao segmento AB. Escolha um dos pontos de interseção e chame-o de C (por exemplo, o que fica “acima” do segmento).
  6. Use a régua para traçar os segmentos AC e BC. Pronto: os três segmentos AB, BC e CA formam um triângulo.

Passo 6

Justificativa matemática da correção da construção (por que isso garante um triângulo equilátero):
Pelo modo como escolhemos C, ele pertence à circunferência centrada em A com raio |AB|. Portanto |AC|=|AB|. Também pertence à circunferência centrada em B com o mesmo raio, logo |BC|=|AB|. Assim
|AB|=|AC|=|BC|.
Pelo que vimos na definição, isso significa que o triângulo ABC é equilátero.

Passo 7

Como verificar rapidamente sem usar régua graduada:
Pegue o compasso com abertura AB. Coloque uma ponta em A e verifique se a outra ponta coincide com C; depois coloque uma ponta em B e verifique se a outra ponta coincide com C. Se ambos coincidirem, isso confirma que |AC|=|AB| e |BC|=|AB|.

Passo 8

Observações práticas e dicas (truques para a prova e para não dar errado):
  • Se as circunferências não se cruzarem, provavelmente você mexeu na abertura do compasso; refaça o ajuste.
  • As duas interseções produzem dois triângulos equiláteros congruentes (um “em cima” e outro “embaixo” de AB). Qualquer um serve.
  • Desenhe arcos maiores (ou círculos inteiros) se precisar facilitar a visualização. Trabalhe com calma e marque bem os pontos.

Passo 9

Exemplo rápido (mesmo procedimento com outro número, só para fixar):
Se o lado dado fosse 2\\ \text{cm}, você faria exatamente os mesmos passos com |AB|=2\\ \text{cm}: abrir o compasso em 2\\ \text{cm}, traçar as duas circunferências e ligar uma interseção a A e B.

Passo 10

Recapitulando em linguagem de prova (o que escrever se pedir justificativa):
Desenhe AB com |AB|=4\\ \text{cm}. Sejam \mathcal{C}_A e \mathcal{C}_B as circunferências de centros A e B e raio |AB|. Seja C uma interseção de \mathcal{C}_A e \mathcal{C}_B. Então |AC|=|AB| e |BC|=|AB|, logo |AB|=|BC|=|CA| e ABC é equilátero. Isso conclui a construção e sua justificativa.

Resposta

Triângulo equilátero ABC com AB=BC=CA=4\\ \text{cm}.

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