Seja V um espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Dado \alpha \in \mathbb{R} chama-se homotetia determinada pelo escalar \alpha a aplicação
H_{\alpha}: V \rightarrow V \quad \text { tal que } \quad H_{\alpha}(u)=\alpha u, \forall u \in V .
Mostrar que H_{\alpha} é um operador linear de V.

Passo 1

O enunciado dá um espaço vetorial V sobre \mathbb{R} e um escalar \alpha \in \mathbb{R}. Define-se a homotetia determinada por \alpha como a aplicação
H_{\alpha}: V \rightarrow V \quad \text{tal que} \quad H_{\alpha}(u)=\alpha u,\\ \forall u\in V.
O que o exercício pede é: mostrar que H_{\alpha} é um operador linear de V.
Informações relevantes fornecidas:
\text{(i)}\\ V \text{ é um espaço vetorial sobre } \mathbb{R},\qquad \text{(ii)}\\ \alpha\in\mathbb{R},\qquad \text{(iii)}\\ H_{\alpha}(u)=\alpha u.éç
Não vamos ainda resolver aqui; apenas identificamos o que precisa ser provado: que H_{\alpha} satisfaz as propriedades de linearidade.

Passo 2

Lembrando de forma bem clara o que significa “operador linear” (é importante para a prova): uma aplicação T:V\to V é linear se, para todo u,v\in V e para todo escalar \beta\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades abaixo:
\text{(A) aditividade: } T(u+v)=T(u)+T(v),
\text{(B) homogeneidade (ou compatibilidade com escalares): } T(\beta u)=\beta\,T(u).
Essas duas propriedades juntas equivalem à propriedade única e compacta
T(\beta u + v)=\beta\,T(u)+T(v)\quad\text{para todos }u,v\in V,\\ \beta\in\mathbb{R},
mas na prova é comum verificar (A) e (B) separadamente. Vou usar os axiomas do espaço vetorial quando precisar (por exemplo, distributividade de escalares sobre soma de vetores, associatividade da multiplicação de escalares e comutatividade dos escalares em \mathbb{R}) — sempre vou explicar qual axioma estou usando.

Passo 3

Provar a aditividade: pegar u,v\in V arbitrários e calcular H_{\alpha}(u+v).
Pelo enunciado temos
H_{\alpha}(u+v)=\alpha (u+v).
Agora aplicamos o axioma do espaço vetorial que diz que a multiplicação por escalar distribui sobre a soma de vetores, isto é, para todo escalar \alpha e vetores u,v vale \alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v. Usando isso:
H_{\alpha}(u+v)=\alpha u+\alpha v.
Mas \alpha u=H_{\alpha}(u) e \alpha v=H_{\alpha}(v) pela definição de H_{\alpha}. Portanto
H_{\alpha}(u+v)=H_{\alpha}(u)+H_{\alpha}(v).
Concluímos que H_{\alpha} satisfaz a propriedade (A) de aditividade.

Passo 4

Provar a homogeneidade: tomar um escalar arbitrário \beta\in\mathbb{R} e um vetor arbitrário u\in V; calcular H_{\alpha}(\beta u).
Pela definição,
H_{\alpha}(\beta u)=\alpha(\beta u).
Agora usamos o axioma do espaço vetorial que diz associatividade da multiplicação escalar: \alpha(\beta u)=(\alpha\beta)u. Assim
H_{\alpha}(\beta u)=(\alpha\beta)u.
Como a multiplicação em \mathbb{R} é comutativa, \alpha\beta=\beta\alpha, e portanto (\alpha\beta)u=\beta(\alpha u). Mas \alpha u=H_{\alpha}(u), logo
H_{\alpha}(\beta u)=\beta(\alpha u)=\beta\,H_{\alpha}(u).
Isto prova a propriedade (B) de compatibilidade com escalares.

Passo 5

Como mostramos as duas propriedades essenciais (A) e (B) para vetores arbitrários u,v\in V e escalar arbitrário \beta\in\mathbb{R}, concluímos que H_{\alpha} é linear. Vou dar duas observações rápidas para fixar a intuição:
\text{se } \alpha=0,\\ H_{0}\text{ é o operador nulo }(H_{0}(u)=0\\ \forall u);é
\text{se } \alpha=1,\\ H_{1}\text{ é a identidade }(H_{1}(u)=u\\ \forall u).é
Esses são casos especiais que obedecem às mesmas propriedades que provamos acima.

Resposta

Sim. H_{\alpha} é um operador linear de V.

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