Seja
um espaço vetorial sobre
. Dado
chama-se homotetia determinada pelo escalar
a aplicação
Mostrar que
é um operador linear de
.
Passo 1
O enunciado dá um espaço vetorial
sobre
e um escalar
. Define-se a homotetia determinada por
como a aplicação
O que o exercício pede é: mostrar que
é um operador linear de
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Não vamos ainda resolver aqui; apenas identificamos o que precisa ser provado: que
satisfaz as propriedades de linearidade.
Passo 2
Lembrando de forma bem clara o que significa “operador linear” (é importante para a prova): uma aplicação
é linear se, para todo
e para todo escalar
, valem as duas propriedades abaixo:
Essas duas propriedades juntas equivalem à propriedade única e compacta
mas na prova é comum verificar (A) e (B) separadamente. Vou usar os axiomas do espaço vetorial quando precisar (por exemplo, distributividade de escalares sobre soma de vetores, associatividade da multiplicação de escalares e comutatividade dos escalares em
) — sempre vou explicar qual axioma estou usando.
Passo 3
Provar a aditividade: pegar
arbitrários e calcular
.
Pelo enunciado temos
Pelo enunciado temos
Agora aplicamos o axioma do espaço vetorial que diz que a multiplicação por escalar distribui sobre a soma de vetores, isto é, para todo escalar
e vetores
vale
. Usando isso:
Mas
e
pela definição de
. Portanto
Concluímos que
satisfaz a propriedade (A) de aditividade.
Passo 4
Provar a homogeneidade: tomar um escalar arbitrário
e um vetor arbitrário
; calcular
.
Pela definição,
Pela definição,
Agora usamos o axioma do espaço vetorial que diz associatividade da multiplicação escalar:
. Assim
Como a multiplicação em
é comutativa,
, e portanto
. Mas
, logo
Isto prova a propriedade (B) de compatibilidade com escalares.
Passo 5
Como mostramos as duas propriedades essenciais (A) e (B) para vetores arbitrários
e escalar arbitrário
, concluímos que
é linear. Vou dar duas observações rápidas para fixar a intuição:
Esses são casos especiais que obedecem às mesmas propriedades que provamos acima.
Resposta
Sim.
é um operador linear de
.