(O enunciado não dá posições dos vértices, então podemos escolher um posicionamento conveniente para calcular o baricentro.)
Passo 2
Construção do triângulo com régua e compasso (instrução prática):
Desenhe um segmento de reta \overline{AB} com comprimento 7\\ \text{cm}. Esse será um lado do triângulo; marque os pontos A e B.
Com centro em A e raio 5\\ \text{cm}, trace um arco (círculo parcial).
Com centro em B e raio 6\\ \text{cm}, trace outro arco; ele interseccionará o arco traçado a partir de A em um ponto — chame esse ponto de C.
Os pontos A, B e C formam o triângulo procurado. Ligue A-C e B-C.
Comentário rápido e motivador: dá pra fazer isso com calma em poucos minutos; se o arco não intersectar, verifique as medidas — aqui sabemos por hipótese que um triângulo com esses lados existe.
Passo 3
Escolha de um sistema de coordenadas para calcular o baricentro de forma algébrica (isso facilita os cálculos e é permitido): coloque o segmento \overline{AB} sobre o eixo x com
A=(0,0),\qquad B=(7,0),
pois AB=7\\ \text{cm}. Assim reduzimos a construção a encontrar as coordenadas de C, sabendo que
AC=5,\qquad BC=6.
Passo 4
Como encontrar a coordenada x\) de \(C\) usando as equações de distância (interseção de círculos):
Se \(C=(x,y)\), então pelas distâncias temos dois sistemas:
\[\begin{cases} (x-0)^2+(y-0)^2=5^2,\\[4pt] (x-7)^2+(y-0)^2=6^2. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar (y^2], obtemos: (x-7)^2-x^2=6^2-5^2.]
Passo 5
Desenvolvendo a equação para achar x:
(x^2-14x+49)-x^2=36-25,
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-14x+49=11.
Isolando x:
-14x=11-49=-38,
x=\dfrac{38}{14}=\dfrac{19}{7}.
Portanto a abscissa de C é x=\dfrac{19}{7} (em centímetros, já que usamos as medidas em cm).
Passo 6
Agora encontramos y usando a primeira equação x^2+y^2=5^2. Substituindo x=\dfrac{19}{7}:
Explicação breve do porquê (intuitiva): cada mediana liga um vértice ao ponto médio do lado oposto; a interseção das três medianas fica a \tfrac{2}{3} do caminho a partir de cada vértice até o ponto médio, e ao calcular a média das coordenadas obtemos esse ponto que equilibra as três massas iguais colocadas nos vértices. Na prova, usar a média é rápido e seguro.
Passo 9
Aplicando a fórmula da média para achar G:
Usando A=(0,0), B=(7,0), C=\left(\dfrac{19}{7},\dfrac{12\sqrt{6}}{7}\right),
calculemos as componentes de G:
confirmando o resultado anterior. Isso é útil na prova: em vez de calcular a média, às vezes é prático pegar \tfrac{2}{3} do vetor vértice→ponto-médio.