Construa o triângulo de lados 5 \mathrm{~cm}, 6 \mathrm{~cm} e 7 cm , em seguida determine o baricentro desse triângulo.

Passo 1

O enunciado dá os comprimentos dos três lados de um triângulo: 5\\ \text{cm}, 6\\ \text{cm} e 7\\ \text{cm}. Pede para:
  1. Construir esse triângulo (com régua e compasso, passo a passo).
  2. Determinar o baricentro do triângulo (ou seja, o ponto onde se encontram as três medianas).
Informações relevantes fornecidas:
\text{Lados: } a=5\\ \text{cm},\quad b=6\\ \text{cm},\quad c=7\\ \text{cm}.
(O enunciado não dá posições dos vértices, então podemos escolher um posicionamento conveniente para calcular o baricentro.)

Passo 2

Construção do triângulo com régua e compasso (instrução prática):
  1. Desenhe um segmento de reta \overline{AB} com comprimento 7\\ \text{cm}. Esse será um lado do triângulo; marque os pontos A e B.
  2. Com centro em A e raio 5\\ \text{cm}, trace um arco (círculo parcial).
  3. Com centro em B e raio 6\\ \text{cm}, trace outro arco; ele interseccionará o arco traçado a partir de A em um ponto — chame esse ponto de C.
  4. Os pontos A, B e C formam o triângulo procurado. Ligue A- C e B- C.
Comentário rápido e motivador: dá pra fazer isso com calma em poucos minutos; se o arco não intersectar, verifique as medidas — aqui sabemos por hipótese que um triângulo com esses lados existe.

Passo 3

Escolha de um sistema de coordenadas para calcular o baricentro de forma algébrica (isso facilita os cálculos e é permitido): coloque o segmento \overline{AB} sobre o eixo x com
A=(0,0),\qquad B=(7,0),
pois AB=7\\ \text{cm}. Assim reduzimos a construção a encontrar as coordenadas de C, sabendo que
AC=5,\qquad BC=6.

Passo 4

Como encontrar a coordenada x\) de \(C\) usando as equações de distância (interseção de círculos): Se \(C=(x,y)\), então pelas distâncias temos dois sistemas: \[\begin{cases} (x-0)^2+(y-0)^2=5^2,\\[4pt] (x-7)^2+(y-0)^2=6^2. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar (y^2], obtemos:
(x-7)^2-x^2=6^2-5^2.]

Passo 5

Desenvolvendo a equação para achar x:
(x^2-14x+49)-x^2=36-25,
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-14x+49=11.
Isolando x:
-14x=11-49=-38,
x=\dfrac{38}{14}=\dfrac{19}{7}.
Portanto a abscissa de C é x=\dfrac{19}{7} (em centímetros, já que usamos as medidas em cm).

Passo 6

Agora encontramos y usando a primeira equação x^2+y^2=5^2. Substituindo x=\dfrac{19}{7}:
y^2=25-\left(\dfrac{19}{7}\right)^2.
Calcule passo a passo em frações:
25=\dfrac{1225}{49},\qquad \left(\dfrac{19}{7}\right)^2=\dfrac{361}{49}.
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y^2=\dfrac{1225-361}{49}=\dfrac{864}{49}.
Como y>0 (escolhemos a interseção acima do eixo x), temos
y=\sqrt{\dfrac{864}{49}}=\dfrac{\sqrt{864}}{7}.
Simplificando \sqrt{864}: 864=144\cdot 6 e \sqrt{144}=12, então \sqrt{864}=12\sqrt{6}. Portanto
y=\dfrac{12\sqrt{6}}{7}.

Passo 7

Conclusão sobre as coordenadas dos vértices (resumo calculado):
A=\left(0,0\right),\qquad B=\left(7,0\right),\qquad C=\left(\dfrac{19}{7},\dfrac{12\sqrt{6}}{7}\right).
Essas coordenadas satisfazem as distâncias dadas (pode-se verificar substituindo novamente nas fórmulas de distância se quiser confirmar).

Passo 8

Definição e propriedade prática do baricentro (o que precisamos usar para calcular):
  • O baricentro (centro de massa uniforme) de um triângulo é o ponto de interseção das três medianas.
  • Propriedade muito útil: as coordenadas do baricentro G são a média aritmética das coordenadas dos vértices. Em fórmula:
G=\left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3},\\ \dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\right).
Explicação breve do porquê (intuitiva): cada mediana liga um vértice ao ponto médio do lado oposto; a interseção das três medianas fica a \tfrac{2}{3} do caminho a partir de cada vértice até o ponto médio, e ao calcular a média das coordenadas obtemos esse ponto que equilibra as três massas iguais colocadas nos vértices. Na prova, usar a média é rápido e seguro.

Passo 9

Aplicando a fórmula da média para achar G:
Usando A=(0,0), B=(7,0), C=\left(\dfrac{19}{7},\dfrac{12\sqrt{6}}{7}\right),
calculemos as componentes de G:
Componente x:
x_G=\dfrac{0+7+\dfrac{19}{7}}{3}=\dfrac{\dfrac{49}{7}+\dfrac{19}{7}}{3}=\dfrac{\dfrac{68}{7}}{3}=\dfrac{68}{21}.
Componente y:
y_G=\dfrac{0+0+\dfrac{12\sqrt{6}}{7}}{3}=\dfrac{\dfrac{12\sqrt{6}}{7}}{3}=\dfrac{12\sqrt{6}}{21}=\dfrac{4\sqrt{6}}{7}.
Portanto
G=\left(\dfrac{68}{21},\\ \dfrac{4\sqrt{6}}{7}\right).

Passo 10

Verificação rápida alternativa (opcional, para fixar a ideia): considere a mediana que vai de A ao ponto médio de BC. O ponto médio de BC é
M_{BC}=\left(\dfrac{7+\dfrac{19}{7}}{2},\\ \dfrac{0+\dfrac{12\sqrt6}{7}}{2}\right)=\left(\dfrac{68}{14},\\ \dfrac{6\sqrt6}{7}\right)=\left(\dfrac{34}{7},\\ \dfrac{6\sqrt6}{7}\right).
O baricentro está a \tfrac{2}{3} do caminho desde A até M_{BC}, então as coordenadas seriam
\left(\tfrac{2}{3}\cdot\dfrac{34}{7},\\ \tfrac{2}{3}\cdot\dfrac{6\sqrt6}{7}\right)=\left(\dfrac{68}{21},\\ \dfrac{4\sqrt6}{7}\right),
confirmando o resultado anterior. Isso é útil na prova: em vez de calcular a média, às vezes é prático pegar \tfrac{2}{3} do vetor vértice→ponto-médio.

Resposta

G\left(\dfrac{68}{21}\\ \text{cm},\\ \dfrac{4\sqrt{6}}{7}\\ \text{cm}\right)

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