Construa um quadrado cuja diagonal tenha 4,5 \mathrm{~cm}.
Passo 1
O enunciado dá a diagonal de um quadrado com comprimento \,4{,}5\\ \mathrm{cm}\, e pede que eu construa esse quadrado.
Informações relevantes:
Temos a medida da diagonal: \,d=4{,}5\\ \mathrm{cm}\,.
Preciso construir geometricamente (régua e compasso) um quadrado cuja diagonal tenha esse comprimento.
Passo 2
Desenhe o segmento que será a diagonal.
Com a régua, trace um segmento \overline{AB} tal que \,AB=4{,}5\\ \mathrm{cm}\,.
(Dica prática: marque dois pontos A e B separados por \,4{,}5\\ \mathrm{cm}\, usando a régua.)
Passo 3
Encontre o ponto médio O de \overline{AB} e a reta perpendicular a \overline{AB} que passa por O. Procedimento com compasso e régua:
Com o compasso aberto numa distância maior que metade de \,AB\,, trace dois arcos centrados em A e em B que se interceptem em dois pontos distintos; chame esses pontos de P e Q.
Trace a reta PQ. Essa reta é a mediatriz de \overline{AB}, portanto é perpendicular a \overline{AB} e corta \overline{AB} no seu ponto médio.
Marque O=\overline{AB}\cap PQ. Assim \,AO=BO=\dfrac{d}{2}=\dfrac{4{,}5}{2}=2{,}25\\ \mathrm{cm}\,.
(Explicação curta: a mediatriz de um segmento passa pelo seu ponto médio e é perpendicular a ele; por isso O é o centro do quadrado que vamos construir.)
Passo 4
Marque os outros dois vértices do quadrado sobre a mediatriz, à distância \,AO\, de O.
Abra o compasso com a abertura AO (que é \,2{,}25\\ \mathrm{cm}\,, você já tem esse segmento).
Com centro em O e raio AO, trace um arco que corte a reta PQ em dois pontos; chame esses pontos de C e D.
(Justificativa: OC=OD=AO, então C e D ficam sobre a mediatriz equidistantes de O.)
Passo 5
Una os vértices para formar o quadrado.
Os quatro vértices do quadrado são A,B,C,D, com A e B sendo extremos da diagonal dada e C,D os extremos da outra diagonal construída.
Trace os segmentos \overline{AC}, \overline{CB}, \overline{BD} e \overline{DA}. O polígono A C B D é o quadrado desejado.
(Dica para lembrar a ordem: as diagonais são \overline{AB} e \overline{CD}; conectando alternadamente A–C–B–D fecha o quadrado.)
Passo 6
Verificação e por que funciona (aula rápida e intuitiva):
Pelo procedimento, AO=BO=CO=DO=\dfrac{d}{2}=2{,}25\\ \mathrm{cm}. Ou seja, O é o centro e as diagonais se cortam em O e têm o mesmo meio.
A reta PQ é perpendicular a \overline{AB}, logo as duas diagonais são perpendiculares em O.
Considere o triângulo AOC. Temos AO=CO e o ângulo \angle AOC é reto (90^\circ), então AOC é um triângulo retângulo isósceles cujo lado AC (um lado do quadrado) satisfaz
AC = AO\sqrt{2}.
Substituindo AO=\dfrac{d}{2} obtemos a relação clássica entre diagonal d e lado s do quadrado: