Publicidade Um clube privado de golfe planeja como gastar seu orçamento de publicidade de
. O clube sabe, a partir de experiência anterior, que o número de respostas
é dado por
, em que
é o número de comerciais por TV a cabo,
é o número de anúncios em jornal e
é o número de spots no rádio. Um comercial na TV a cabo custa $ 30, no jornal, $ 12 e no rádio, $ 15.
(a) Quanto deve ser gasto em cada tipo de propaganda para obter o número máximo de respostas (assuma que o clube de golfe utilize todos os tipos de publicidade)?
(a) Quanto deve ser gasto em cada tipo de propaganda para obter o número máximo de respostas (assuma que o clube de golfe utilize todos os tipos de publicidade)?
Passo 1
Temos a função de respostas
a ser maximizada sob a restrição orçamentária
, onde
. O conteúdo é otimização com multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Para simplificar a otimização, vamos maximizar
em vez de
, pois
é função monótona crescente. Assim mantemos o mesmo ponto ótimo.
Passo 3
Escrevendo:
e a restrição de orçamento é
Passo 4
Montamos a função de Lagrange para
:
As condições de primeira ordem são:
Passo 5
Das três equações tiramos:
Passo 6
Substituindo na restrição
logo
.
Passo 7
Calculamos então
Passo 8
Verificando o gasto: TV:
, jornal:
, rádio:
. Total
, atende ao orçamento.
Resposta
Gastar R$ 1200 em TV a cabo, R$ 600 em anúncios de jornal e R$ 900 em spots de rádio.