Publicidade Um clube privado de golfe planeja como gastar seu orçamento de publicidade de . O clube sabe, a partir de experiência anterior, que o número de respostas O clube sabe, a partir de experiência anterior, que o número de respostas é dado por é dado por , em que , em que é o número de comerciais por TV a cabo, é o número de comerciais por TV a cabo, é o número de anúncios em jornal e é o número de anúncios em jornal e é o número de spots no rádio. Um comercial na TV a cabo custa $ 30, no jornal, $ 12 e no rádio, $ 15.
(a) Quanto deve ser gasto em cada tipo de propaganda para obter o número máximo de respostas (assuma que o clube de golfe utilize todos os tipos de publicidade)?

Passo 1

Temos a função de respostas A = 0,0001,t^2p,r^1,5 a ser maximizada sob a restrição orçamentária 30t + 12p + 15r = 2700, onde t,p,r>0. O conteúdo é otimização com multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Para simplificar a otimização, vamos maximizar ln A em vez de A, pois ln é função monótona crescente. Assim mantemos o mesmo ponto ótimo.

Passo 3

Escrevendo:
ln A = ln(0,0001) + 2ln t + ln p + 1,5ln r
e a restrição de orçamento é
30t + 12p + 15r = 2700

Passo 4

Montamos a função de Lagrange para ln A:
L = ln A - mu(30t + 12p + 15r - 2700)
As condições de primeira ordem são:
partial Lpartial t: 2t - 30mu = 0, partial Lpartial p: 1p - 12mu = 0, partial Lpartial r: 1,5r - 15mu = 0

Passo 5

Das três equações tiramos:
t = 230mu = 115mu, p = 112mu, r = 1,515mu = 0,1mu

Passo 6

Substituindo na restrição
30t + 12p + 15r = 2mu + 1mu + 1,5mu = 4,5mu = 2700
logo mu = tfrac1600.

Passo 7

Calculamos então
t = 115,(1/600) = 40, p = 112,(1/600) = 50, r = 0,11/600 = 60

Passo 8

Verificando o gasto: TV: 40times30 = 1200, jornal: 50times12 = 600, rádio: 60times15 = 900. Total 1200+600+900 = 2700, atende ao orçamento.

Resposta

Gastar R$ 1200 em TV a cabo, R$ 600 em anúncios de jornal e R$ 900 em spots de rádio.

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