Construção Um fazendeiro planeja utilizar um muro de pedra e a lateral de um celeiro preexistentes como limite de dois currais retangulares adjacentes. Cercar o perímetro custa
por pé. Para separar os currais, uma cerca que custa
por pé dividirá a região. A área total dos dois currais deve ser de 6000 pés quadrados.
(a) Utilize multiplicadores de Lagrange para determinar as dimensões que minimizarão o custo da cerca.
(a) Utilize multiplicadores de Lagrange para determinar as dimensões que minimizarão o custo da cerca.
Passo 1
O enunciado diz que temos dois currais retangulares adjacentes, usando de um lado o celeiro e do outro um muro de pedra sem custo de cerca. Para separar os dois currais há uma cerca que custa $40/pé, e todo o restante do perímetro (duas laterais verticais e as duas transversais externa) custa $10/pé. A área total deve ser 6000 ft² e vamos usar multiplicadores de Lagrange para minimizar o custo.
Passo 2
Vamos definir variáveis que facilitem a modelagem: seja
a distância entre o celeiro e o muro de pedra (altura de cada retângulo) e
o comprimento total paralelo ao celeiro e ao muro (largura dos retângulos empilhados). Então a área total é
o que dá a restrição
O custo total é composto por:
- duas cercas laterais verticais de comprimento
a $10/pé cada; - duas cercas horizontais externas (parte de cima e parte de baixo) de comprimento
a $10/pé cada; - uma cerca divisória (horizontal) de comprimento
a $40/pé.
Logo,
Passo 3
Formamos a função de Lagrange para otimizar
sujeita a
:
$$
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=20x+60y + \lambda(3000 - xy).
$$
Passo 4
Calculamos as condições de otimalidade:
Igualando as duas expressões para
:
Passo 5
Substituímos
na restrição
:
Então
Resposta
As dimensões que minimizam o custo são: distância entre celeiro e muro de pedra
pés e comprimento paralelo ao celeiro
pés.