Construção Um fazendeiro planeja utilizar um muro de pedra e a lateral de um celeiro preexistentes como limite de dois currais retangulares adjacentes. Cercar o perímetro custa por pé. Para separar os currais, uma cerca que custa por pé Para separar os currais, uma cerca que custa por pé dividirá a região. A área total dos dois currais deve ser de 6000 pés quadrados.
(a) Utilize multiplicadores de Lagrange para determinar as dimensões que minimizarão o custo da cerca.

Passo 1

O enunciado diz que temos dois currais retangulares adjacentes, usando de um lado o celeiro e do outro um muro de pedra sem custo de cerca. Para separar os dois currais há uma cerca que custa $40/pé, e todo o restante do perímetro (duas laterais verticais e as duas transversais externa) custa $10/pé. A área total deve ser 6000 ft² e vamos usar multiplicadores de Lagrange para minimizar o custo.

Passo 2

Vamos definir variáveis que facilitem a modelagem: seja x a distância entre o celeiro e o muro de pedra (altura de cada retângulo) e y o comprimento total paralelo ao celeiro e ao muro (largura dos retângulos empilhados). Então a área total é
2xy = 6000
o que dá a restrição
xy = 3000
O custo total é composto por:
  • duas cercas laterais verticais de comprimento x a $10/pé cada;
  • duas cercas horizontais externas (parte de cima e parte de baixo) de comprimento 10/pé cada; - duas cercas horizontais externas (parte de cima e parte de baixo) de comprimento a $10/pé cada;
  • uma cerca divisória (horizontal) de comprimento a a $40/pé.
    Logo,
y

Passo 3

Formamos a função de Lagrange para otimizar C(x,y) sujeita a g(x,y)=xy-3000=0:
$$
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=20x+60y + \lambda(3000 - xy).
$$

Passo 4

Calculamos as condições de otimalidade:
partialLpartial x=20 - lambda y=0 Rightarrow lambda=20y,
partialLpartial y=60 - lambda x=0 Rightarrow lambda=60x,
partialLpartiallambda=3000 - xy=0 Rightarrow xy=3000
Igualando as duas expressões para lambda:
20y=60x Rightarrow 20x=60y Rightarrow x=3y

Passo 5

Substituímos x=3y na restrição xy=3000:
3ycdot y =3000 Rightarrow 3y^2=3000 Rightarrow y^2=1000 Rightarrow y=10raiz10
Então
x=3y=30raiz10

Resposta

As dimensões que minimizam o custo são: distância entre celeiro e muro de pedra x=30raiz10 pés e comprimento paralelo ao celeiro y=10raiz10 pés.

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