Verifique que a função dada é uma solução da equação diferencial que está ao seu lado; aqui c denota uma constante real.
a) y(x)=(c+sen x)^2,(y^prime)^2-4 y cos ^2 x=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função y(x)=(c+sin x)^2 é solução da equação diferencial (y')^2 -4ycos^2 x=0. Vamos precisar usar derivada de função composta e depois checar que ao substituir a derivada na EDO o resultado é zero.

Passo 2

Calcular a derivada y' de y(x)=(c+sin x)^2 usando a regra da cadeia. Primeiro reconhecemos u(x)=c+sin x, então y=u^2 e
y'=2ucdot u' = 2(c+sin x)cdot(cos x)

Passo 3

Elevar y' ao quadrado:
(y')^2 = [2(c+sin x)cos x]^2 = 4(c+sin x)^2cos^2 x

Passo 4

Calcular 4ycos^2 x:
4ycos^2 x = 4(c+sin x)^2cos^2 x

Passo 5

Substituir na expressão (y')^2 -4ycos^2 x:
(y')^2 -4ycos^2 x = 4(c+sin x)^2cos^2 x - 4(c+sin x)^2cos^2 x = 0
Como a expressão resulta em zero para todo x, a função satisfaz a equação diferencial.

Resposta

A expressão (y')^2 -4ycos^2 x é idêntica a zero, logo y(x)=(c+sin x)^2 é solução da EDO.

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