• Seja \alpha uma curva p.p.c.a. Use as fórmulas de Frenet-Serret vistas em aula
\begin{aligned} T^{\prime}(s) & =k N \\\ N^{\prime}(s) & =-\tau B-k T \\\ B^{\prime}(s) & =\tau N \end{aligned}
para encontrar as seguintes relações:
(a) \alpha^{\prime \prime}(s)=k N.
(b) \alpha^{\prime \prime \prime}(s)=k^{\prime} N-k \tau B-k^{2} T.
Use estas relações para calcular o produto misto \left(\alpha^{\prime} \times \alpha^{\prime \prime}\right) \cdot \alpha^{\prime \prime \prime}. Usando a fórmula vista em aula
k=\frac{\left|\alpha^{\prime} \times \alpha^{\prime \prime}\right|}{\left|\alpha^{\prime}\right|^{3}}
conclua que a torção \tau da curva \alpha p.p.c.a. pode ser calculada pela fórmula
\tau=-\frac{\left(\alpha^{\prime} \times \alpha^{\prime \prime}\right) \cdot \alpha^{\prime \prime \prime}}{\left|\alpha^{\prime} \times \alpha^{\prime \prime}\right|^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá uma curva \alpha(s) parametrizada por comprimento de arco (ou seja, \|\alpha'(s)\|=1), e as fórmulas de Frenet–Serret:
\begin{aligned} T'(s)&=k(s)\,N(s),\\\ N'(s)&=-\,k(s)\,T(s)-\tau(s)\,B(s),\\\ B'(s)&=\tau(s)\,N(s). \end{aligned}
Precisamos mostrar que
\alpha''(s)=k(s)\,N(s), \quad \alpha'''(s)=k'(s)\,N(s)-k(s)\,\tau(s)\,B(s)-k(s)^2\,T(s),
calcular o produto misto \bigl(\alpha'\times\alpha''\bigr)\!\cdot\!\alpha''' e, usando
k(s)=\frac{\bigl\|\alpha'\times\alpha''\bigr\|}{\|\alpha'\|^3},
concluir que
\tau(s)=-\frac{\bigl(\alpha'\times\alpha''\bigr)\cdot\alpha'''}{\bigl\|\alpha'\times\alpha''\bigr\|^2}.

Passo 2

Como \alpha'(s)=T(s), basta derivar em relação a s. Pela primeira fórmula de Frenet–Serret,
\alpha''(s)=T'(s)=k(s)\,N(s).

Passo 3

Para \alpha'''(s), derivamos \alpha''(s)=kN:
\alpha'''(s) =\bigl(k(s)N(s)\bigr)' =k'(s)\,N(s)+k(s)\,N'(s).
Usando N'(s)=-k\,T-\tau\,B, vem
\alpha'''(s) =k'\,N +k\bigl(-k\,T-\tau\,B\bigr) =k'\,N -k\,\tau\,B -k^2\,T.

Passo 4

Agora calculemos o produto misto:
(\alpha'\times\alpha'')\cdot\alpha''' =(T\times (kN))\cdot\bigl(k'\,N -k\,\tau\,B -k^2\,T\bigr).
Como T\times N=B, isto é
k\,(B)\cdot\bigl(k'\,N -k\,\tau\,B -k^2\,T\bigr) =k\bigl(0 -k\,\tau\,(B\cdot B)+0\bigr) =-k^2\,\tau.
Logo
(\alpha'\times\alpha'')\cdot\alpha'''=-k^2\,\tau.

Passo 5

Por hipótese de parametrização por arco, \|\alpha'\|=1, logo
\bigl\|\alpha'\times\alpha''\bigr\| =k.
Então
-k^2\,\tau =(\alpha'\times\alpha'')\cdot\alpha''',
ou seja
\tau =-\frac{(\alpha'\times\alpha'')\cdot\alpha'''}{k^2} =-\frac{(\alpha'\times\alpha'')\cdot\alpha'''}{\|\alpha'\times\alpha''\|^2}.

Resposta

\tau(s) =-\frac{\bigl(\alpha'(s)\times\alpha''(s)\bigr)\cdot\alpha'''(s)} {\bigl\|\alpha'(s)\times\alpha''(s)\bigr\|^2}.

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