Na construção de viadutos e túneis, a forma parabólica é frequentemente utilizada para distribuir cargas de maneira eficiente. Suponha que a estrutura de um arco parabólico em um túnel seja modelada pela equação:
onde as unidades estão em metros, e o eixo y representa a altura do túnel em relação ao solo.
Identificação da Estrutura:
Determine o vértice, a direção da abertura e a posição do foco da parábola.
Identificação da Estrutura:
Determine o vértice, a direção da abertura e a posição do foco da parábola.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Estamos trabalhando com uma parábola que modela a estrutura de um arco em um túnel. A equação dada é
, onde as unidades estão em metros e o eixo y representa a altura do túnel em relação ao solo. Nosso objetivo é encontrar três coisas: o vértice da parábola, a direção para a qual ela está se abrindo e a posição do foco.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vértice da parábola. A forma geral da equação de uma parábola vertical é
, onde
é o vértice. Comparando com a equação dada
, vemos que
e
. Então, o vértice está em
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a direção da abertura da parábola. Na forma
, se o termo em y estiver positivo, a abertura é para cima; se estiver negativo, a abertura é para baixo. No nosso caso, temos
, onde o coeficiente de
é positivo (+4). Isso significa que a parábola está se abrindo para cima.
Passo 4
Por último, vamos encontrar a posição do foco da parábola. A distância do vértice ao foco é dada por
, onde
é o coeficiente que acompanha a parametrização da parábola. Na nossa equação,
, então
. Como a parábola está se abrindo para cima, o foco fica a
unidades acima do vértice. Portanto, somamos 1 unidade à coordenada y do vértice:
. Assim, o foco está em
.
Resposta
- Vértice:
- Direção de abertura: Para cima
- Foco: