Na construção de viadutos e túneis, a forma parabólica é frequentemente utilizada para distribuir cargas de maneira eficiente. Suponha que a estrutura de um arco parabólico em um túnel seja modelada pela equação:
(x-3)^2=4(y-1)
onde as unidades estão em metros, e o eixo y representa a altura do túnel em relação ao solo.
Identificação da Estrutura:
Determine o vértice, a direção da abertura e a posição do foco da parábola.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Estamos trabalhando com uma parábola que modela a estrutura de um arco em um túnel. A equação dada é (x-3)^2=4(y-1), onde as unidades estão em metros e o eixo y representa a altura do túnel em relação ao solo. Nosso objetivo é encontrar três coisas: o vértice da parábola, a direção para a qual ela está se abrindo e a posição do foco.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vértice da parábola. A forma geral da equação de uma parábola vertical é (x-h)^2=4p(y-k), onde (h, k) é o vértice. Comparando com a equação dada (x-3)^2=4(y-1), vemos que h = 3 e k = 1. Então, o vértice está em (3, 1).

Passo 3

Agora, vamos determinar a direção da abertura da parábola. Na forma (x-h)^2=4p(y-k), se o termo em y estiver positivo, a abertura é para cima; se estiver negativo, a abertura é para baixo. No nosso caso, temos (x-3)^2=4(y-1), onde o coeficiente de y é positivo (+4). Isso significa que a parábola está se abrindo para cima.

Passo 4

Por último, vamos encontrar a posição do foco da parábola. A distância do vértice ao foco é dada por p, onde 4p é o coeficiente que acompanha a parametrização da parábola. Na nossa equação, 4p = 4, então p = 1. Como a parábola está se abrindo para cima, o foco fica a p unidades acima do vértice. Portanto, somamos 1 unidade à coordenada y do vértice: 1 + 1 = 2. Assim, o foco está em (3, 2).

Resposta

  • Vértice: (3, 1)
  • Direção de abertura: Para cima
  • Foco: (3, 2)

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