Na construção de viadutos e túneis, a forma parabólica é frequentemente utilizada para distribuir cargas de maneira eficiente. Suponha que a estrutura de um arco parabólico em um túnel seja modelada pela equação:
onde as unidades estão em metros, e o eixo y representa a altura do túnel em relação ao solo.
Altura Máxima:
Qual é a altura máxima do túnel no ponto mais alto da estrutura?
Altura Máxima:
Qual é a altura máxima do túnel no ponto mais alto da estrutura?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre a construção de viadutos e túneis usando uma forma parabólica para distribuir as cargas de maneira eficiente. A gente recebeu a equação de um arco parabólico que modela a estrutura de um túnel:
Nosso objetivo é encontrar a altura máxima do túnel no ponto mais alto dessa estrutura. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre a forma da parábola e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da parábola que nos foi dada:
Essa é a forma canônica da equação de uma parábola vertical, que geralmente é escrita como:
Onde:
-
é o vértice da parábola. -
determina a “abertura” da parábola. Se é positivo, a parábola abre para cima; se é negativo, abre para baixo.
Passo 3
Comparando as duas equações, podemos identificar os valores de
,
e
:
Então:
-
-
-
→
Isso significa que o vértice da parábola está no ponto
e que a parábola abre para cima, já que
é positivo.
Passo 4
Agora, precisamos entender o que isso significa no contexto do túnel. O vértice
representa o ponto mais baixo da parábola, já que ela está abrindo para cima. Isso quer dizer que a altura mínima do túnel é 1 metro.
Mas a questão pede a altura máxima no ponto mais alto da estrutura. No caso de uma parábola que abre para cima, a altura máxima não é limitada—ela pode aumentar indefinidamente à medida que nos afastamos do vértice. Porém, em aplicações práticas como a construção de túneis, há limites físicos e estruturais que determinam a altura máxima real.
Resposta
Considerando a equação
, o vértice da parábola está em
, que representa a altura mínima do túnel. Portanto, a altura máxima do túnel no ponto mais alto da estrutura não está definida pela equação fornecida, já que a parábola abre para cima e pode se estender indefinidamente. Na prática, a altura máxima seria determinada por outros fatores estruturais e de design do túnel.