Na construção de viadutos e túneis, a forma parabólica é frequentemente utilizada para distribuir cargas de maneira eficiente. Suponha que a estrutura de um arco parabólico em um túnel seja modelada pela equação:
(x-3)^2=4(y-1)
onde as unidades estão em metros, e o eixo y representa a altura do túnel em relação ao solo.
Altura Máxima:
Qual é a altura máxima do túnel no ponto mais alto da estrutura?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre a construção de viadutos e túneis usando uma forma parabólica para distribuir as cargas de maneira eficiente. A gente recebeu a equação de um arco parabólico que modela a estrutura de um túnel:
(x-3)^2=4(y-1)
Nosso objetivo é encontrar a altura máxima do túnel no ponto mais alto dessa estrutura. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre a forma da parábola e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da parábola que nos foi dada:
(x-3)^2=4(y-1)
Essa é a forma canônica da equação de uma parábola vertical, que geralmente é escrita como:
(x-h)^2=4p(y-k)
Onde:
  • (h, k) é o vértice da parábola.
  • p determina a “abertura” da parábola. Se p é positivo, a parábola abre para cima; se p é negativo, abre para baixo.

Passo 3

Comparando as duas equações, podemos identificar os valores de h, k e p:
(x-3)^2=4(y-1)
Então:
  • h = 3
  • k = 1
  • 4p = 4 p = 1
Isso significa que o vértice da parábola está no ponto (3, 1) e que a parábola abre para cima, já que p é positivo.

Passo 4

Agora, precisamos entender o que isso significa no contexto do túnel. O vértice (3, 1) representa o ponto mais baixo da parábola, já que ela está abrindo para cima. Isso quer dizer que a altura mínima do túnel é 1 metro.
Mas a questão pede a altura máxima no ponto mais alto da estrutura. No caso de uma parábola que abre para cima, a altura máxima não é limitada—ela pode aumentar indefinidamente à medida que nos afastamos do vértice. Porém, em aplicações práticas como a construção de túneis, há limites físicos e estruturais que determinam a altura máxima real.

Resposta

Considerando a equação (x-3)^2=4(y-1), o vértice da parábola está em (3, 1), que representa a altura mínima do túnel. Portanto, a altura máxima do túnel no ponto mais alto da estrutura não está definida pela equação fornecida, já que a parábola abre para cima e pode se estender indefinidamente. Na prática, a altura máxima seria determinada por outros fatores estruturais e de design do túnel.

Exercícios relacionados