Na construção de viadutos e túneis, a forma parabólica é frequentemente utilizada para distribuir cargas de maneira eficiente. Suponha que a estrutura de um arco parabólico em um túnel seja modelada pela equação:
(x-3)^2=4(y-1)
onde as unidades estão em metros, e o eixo y representa a altura do túnel em relação ao solo.
Largura Útil:
Se a altura mínima necessária para a passagem de veículos de grande porte for de 3 metros, determine a largura do túnel nessa altura.

Passo 1

O enunciado nos dá uma parábola com vértice em (3,1) descrita por
(x-3)^2 = 4,(y-1),
onde y é a altura do túnel. Queremos saber a largura útil do túnel quando a altura é 3 metros, ou seja, a distância horizontal entre os dois pontos da parábola que satisfazem y=3.

Passo 2

Para encontrar as abscissas desses pontos, substituímos y=3 na equação da parábola:
(x-3)^2 = 4,(3-1)

Passo 3

Calculamos o lado direito:
4,(3-1) = 4 times 2 = 8,
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(x-3)^2 = 8 Longrightarrow x-3 = pm raiz8 = pm 2raiz2
Isso dá as raízes
x = 3 + 2raiz2 e x = 3 - 2raiz2

Passo 4

A largura do túnel nessa altura é a distância entre essas duas abscissas:
(3 + 2raiz2) - (3 - 2raiz2) = 4raiz2
Em valor aproximado,
4raiz2approx 4 times 1,414 = 5,656,m

Resposta

A largura útil do túnel a 3 metros de altura é
4raiz2,m(approx 5,66,m)

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