Na construção de viadutos e túneis, a forma parabólica é frequentemente utilizada para distribuir cargas de maneira eficiente. Suponha que a estrutura de um arco parabólico em um túnel seja modelada pela equação:
(x-3)^2=4(y-1)
onde as unidades estão em metros, e o eixo y representa a altura do túnel em relação ao solo.
Ponto de Iluminação: Um engenheiro deseja posicionar uma luz exatamente no foco da parábola para maximizar a distribuição da iluminação. Determine as coordenadas onde essa luz deve ser instalada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema sobre parabolas que aparecem na construção de viadutos e túneis. A equação que nos deram é (x-3)^2=4(y-1). O que queremos descobrir é onde colocar uma luz no foco dessa parábola para iluminar todo o túnel de maneira eficiente. Para isso, vamos precisar entender como encontrar o foco de uma parábola a partir da sua equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a forma padrão da equação de uma parábola vertical, que é (x - h)^2 = 4p(y - k), onde (h, k) é o vértice da parábola e p é a distância do vértice ao foco. Comparando isso com a equação dada (x-3)^2=4(y-1), vemos que h = 3, k = 1 e 4p = 4. Então, podemos encontrar o valor de p.

Passo 3

Resolvendo para p, temos:
4p = 4 implies p = 1
Isso significa que a distância do vértice ao foco é 1 metro.

Passo 4

Agora, sabendo que a parábola é vertical e abre para cima (porque o coeficiente de y é positivo), o foco estará localizado p unidades acima do vértice. Já que o vértice está em (3, 1), vamos adicionar p = 1 à coordenada y do vértice para encontrar o foco.

Passo 5

Calculando as coordenadas do foco:
x = h = 3
y = k + p = 1 + 1 = 2
Então, o foco está em (3, 2).

Resposta

A luz deve ser instalada no ponto (3, 2) para otimizar a iluminação do túnel.

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