Na construção de viadutos e túneis, a forma parabólica é frequentemente utilizada para distribuir cargas de maneira eficiente. Suponha que a estrutura de um arco parabólico em um túnel seja modelada pela equação:
onde as unidades estão em metros, e o eixo y representa a altura do túnel em relação ao solo.
Ponto de Iluminação: Um engenheiro deseja posicionar uma luz exatamente no foco da parábola para maximizar a distribuição da iluminação. Determine as coordenadas onde essa luz deve ser instalada.
Ponto de Iluminação: Um engenheiro deseja posicionar uma luz exatamente no foco da parábola para maximizar a distribuição da iluminação. Determine as coordenadas onde essa luz deve ser instalada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema sobre parabolas que aparecem na construção de viadutos e túneis. A equação que nos deram é
. O que queremos descobrir é onde colocar uma luz no foco dessa parábola para iluminar todo o túnel de maneira eficiente. Para isso, vamos precisar entender como encontrar o foco de uma parábola a partir da sua equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a forma padrão da equação de uma parábola vertical, que é
, onde
é o vértice da parábola e
é a distância do vértice ao foco. Comparando isso com a equação dada
, vemos que
,
e
. Então, podemos encontrar o valor de
.
Passo 3
Resolvendo para
, temos:
Isso significa que a distância do vértice ao foco é 1 metro.
Passo 4
Agora, sabendo que a parábola é vertical e abre para cima (porque o coeficiente de
é positivo), o foco estará localizado
unidades acima do vértice. Já que o vértice está em
, vamos adicionar
à coordenada
do vértice para encontrar o foco.
Passo 5
Calculando as coordenadas do foco:
Então, o foco está em
.
Resposta
A luz deve ser instalada no ponto
para otimizar a iluminação do túnel.