Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
é um espaço vetorial de dimensão 3 .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um conjunto
e precisamos verificar se esse conjunto é um espaço vetorial de dimensão 3. Então, vamos trabalhar com álgebra linear, focando em espaços vetoriais e dimensão. Para resolver isso, vamos checar se
satisfaz as propriedades de um espaço vetorial e depois determinar sua dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o conjunto
. Ele é definido por polinômios da forma
, onde
,
e
são escalares (números reais, por exemplo). Podemos reescrever isso como:
Assim, cada elemento de
é determinado pelos valores de
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é um espaço vetorial. Para isso, precisamos checar se
satisfaz as axiomas de espaço vetorial, como fechamento sob adição e multiplicação por escalar, existência do vetor zero, entre outros. Vamos começar verificando o vetor zero.
O vetor zero no espaço de polinômios seria o polinômio onde todos os coeficientes são zero:
Podemos obter isso escolhendo
,
e
no conjunto
. Então, o vetor zero está em
.
Passo 4
Em seguida, vamos verificar se
é fechado sob adição. Se pegarmos dois elementos de
:
A soma deles seria:
Isso ainda está na forma
, onde
,
, e
. Portanto, a soma dos elementos está em
, mostrando que
é fechado sob adição.
Passo 5
Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Se tomarmos um polinômio
em
e multiplicarmos por um escalar
, temos:
Isso ainda está na forma
, onde
,
, e
. Logo,
também pertence a
, mostrando que
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Como
satisfaz as propriedades de fechamento sob adição e multiplicação por escalar, e contém o vetor zero, podemos concluir que
é um espaço vetorial.
Passo 7
Agora, vamos determinar a dimensão de
. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base que é necessária para gerar todo o espaço. Vamos tentar encontrar uma base para
.
Observando a forma
, podemos separar os termos:
Podemos expressar isso como uma combinação linear de três polinômios independentes:
Então, uma possível base para
é
. Como temos três vetores nessa base, a dimensão de
é 3.
Resposta
Sim,
é um espaço vetorial de dimensão 3.