Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
V=x t^2+(y+z) t+z é um espaço vetorial de dimensão 3 .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um conjunto V = x t^2 + (y + z) t + z e precisamos verificar se esse conjunto é um espaço vetorial de dimensão 3. Então, vamos trabalhar com álgebra linear, focando em espaços vetoriais e dimensão. Para resolver isso, vamos checar se V satisfaz as propriedades de um espaço vetorial e depois determinar sua dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o conjunto V . Ele é definido por polinômios da forma x t^2 + (y + z) t + z , onde x , y e z são escalares (números reais, por exemplo). Podemos reescrever isso como:
V = x t^2 + y t + z t + z = x t^2 + y t + z (t + 1)
Assim, cada elemento de V é determinado pelos valores de x , y e z .

Passo 3

Agora, vamos verificar se V é um espaço vetorial. Para isso, precisamos checar se V satisfaz as axiomas de espaço vetorial, como fechamento sob adição e multiplicação por escalar, existência do vetor zero, entre outros. Vamos começar verificando o vetor zero.
O vetor zero no espaço de polinômios seria o polinômio onde todos os coeficientes são zero:
0 t^2 + 0 t + 0 = 0
Podemos obter isso escolhendo x = 0 , y = 0 e z = 0 no conjunto V . Então, o vetor zero está em V .

Passo 4

Em seguida, vamos verificar se V é fechado sob adição. Se pegarmos dois elementos de V :
p(t) = x1 t^2 + (y1 + z1) t + z1
q(t) = x2 t^2 + (y2 + z2) t + z2
A soma deles seria:
p(t) + q(t) = (x1 + x2) t^2 + (y1 + y2 + z1 + z2) t + (z1 + z2)
Isso ainda está na forma a t^2 + (b + c) t + c , onde a = x1 + x2 , b = y1 + y2 , e c = z1 + z2 . Portanto, a soma dos elementos está em V , mostrando que V é fechado sob adição.

Passo 5

Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Se tomarmos um polinômio p(t) = x t^2 + (y + z) t + z em V e multiplicarmos por um escalar k , temos:
k cdot p(t) = k x t^2 + k (y + z) t + k z
Isso ainda está na forma a t^2 + (b + c) t + c , onde a = k x , b = k y , e c = k z . Logo, k cdot p(t) também pertence a V , mostrando que V é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Como V satisfaz as propriedades de fechamento sob adição e multiplicação por escalar, e contém o vetor zero, podemos concluir que V é um espaço vetorial.

Passo 7

Agora, vamos determinar a dimensão de V . A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base que é necessária para gerar todo o espaço. Vamos tentar encontrar uma base para V .
Observando a forma x t^2 + y t + z (t + 1) , podemos separar os termos:
x t^2 + y t + z t + z = x t^2 + (y + z) t + z
Podemos expressar isso como uma combinação linear de três polinômios independentes:
x cdot t^2 + y cdot t + z cdot (t + 1)
Então, uma possível base para V é t^2, t, t + 1 . Como temos três vetores nessa base, a dimensão de V é 3.

Resposta

Sim, V é um espaço vetorial de dimensão 3.

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