(Fatorial \times potências de 2) Prove, por indução, que para todo n \in\{4,5,6, \ldots\} tem-se n!\geqslant 2^{n}.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, por indução, que para todo n\in\{4,5,6,\dots\} vale
n! \;\ge\; 2^n.
O método de indução envolve dois momentos: a base (verificar para o primeiro valor) e o passo indutivo (mostrar que, se vale para n, então vale para n+1).

Passo 2

Base de indução: para n=4 calculamos
4! = 1\cdot2\cdot3\cdot4 = 24,
e
2^4 = 16.
Como 24 \ge 16, a propriedade é verdadeira para n=4.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum n\ge4 já valha
n! \;\ge\; 2^n.

Passo 4

Passo indutivo: queremos mostrar
(n+1)! \;\ge\; 2^{\,n+1}.
Começamos por escrever
(n+1)! = (n+1)\,\bigl(n!\bigr).
Pela hipótese de indução n!\ge2^n, segue
(n+1)! \;\ge\; (n+1)\,2^n.
Como n\ge4 implica n+1\ge5>2, temos
(n+1)\,2^n \;\ge\; 2\cdot2^n = 2^{\,n+1}.
Logo
(n+1)! \;\ge\; 2^{\,n+1},
completando o passo indutivo.

Resposta

Por princípio da indução, concluímos que para todo n\ge4 vale a desigualdade
n! \;\ge\; 2^n.

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