(Fatorial
potências de 2) Prove, por indução, que para todo
tem-se
.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar, por indução, que para todo
vale
O método de indução envolve dois momentos: a base (verificar para o primeiro valor) e o passo indutivo (mostrar que, se vale para
, então vale para
).
Passo 2
Base de indução: para
calculamos
e
Como
, a propriedade é verdadeira para
.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que para algum
já valha
Passo 4
Passo indutivo: queremos mostrar
Começamos por escrever
Pela hipótese de indução
, segue
Como
implica
, temos
Logo
completando o passo indutivo.
Resposta
Por princípio da indução, concluímos que para todo
vale a desigualdade