Utilizando o Teorema do Valor Médio, mostre que para todo \alpha>1 e para todo x>-1 então (1+x)^{\alpha} \geq 1+\alpha x. (Desigualdade de Bernoulli)

Passo 1

O enunciado pede para provar a desigualdade de Bernoulli
(1+x)^{\alpha} \ge 1+\alpha x
para todo \alpha>1 e todo x>-1, usando o Teorema do Valor Médio (TVM). Vamos definir uma função apropriada e aplicar o TVM.

Passo 2

Defina a função
f(t) = (1+t)^{\alpha},
cujo domínio é t>-1. Essa função é contínua em [-1+\varepsilon,\infty) e derivável em (-1+\varepsilon,\infty) para qualquer \varepsilon>0. Em particular, é derivável no intervalo fechado que vai de 0 até x, quer x\ge0 quer -1<x<0.

Passo 3

Pelo Teorema do Valor Médio, existe algum c entre 0 e x (mais precisamente c\in(\min\{0,x\},\max\{0,x\})) tal que
f(x)-f(0) = f'\text{(c)}\,(x-0).

Passo 4

Calculemos f(0) e f'(t):
f(0) = (1+0)^{\alpha} = 1, \qquad f'(t) = \alpha(1+t)^{\alpha-1}.
Logo
f(x) - 1 = \alpha\,(1+c)^{\alpha-1} \, x.

Passo 5

Observe que, como \alpha-1>0, a função g(t)=(1+t)^{\alpha-1} é estritamente crescente em t>-1.
  • Se x\ge0, então c\in(0,x) e portanto (1+c)^{\alpha-1}\ge(1+0)^{\alpha-1}=1. Assim
f(x)-1 = \alpha\,(1+c)^{\alpha-1}\,x \;\ge\;\alpha\cdot1\cdot x = \alpha x.
  • Se -1<x<0, então c\in(x,0) e assim (1+c)^{\alpha-1}\le(1+0)^{\alpha-1}=1. Como x<0, ao multiplicar uma desigualdade pela quantidade negativa invertemos o sinal, mas aqui temos
f(x)-1 = \alpha\,(1+c)^{\alpha-1}\,x \;\ge\;\alpha\cdot1\cdot x = \alpha x
porque (1+c)^{\alpha-1}\le1 e x<0 troca o sentido duas vezes (uma pela desigualdade de g\text{(c)} e outra por x<0), resultando em f(x)-1\ge\alpha x.

Passo 6

Em ambos os casos concluímos
f(x)-1 \ge \alpha x \quad\Longrightarrow\quad (1+x)^{\alpha} \ge 1+\alpha x.

Resposta

(1+x)^{\alpha} \ge 1+\alpha x \quad\text{para todo \(\alpha>1\) e todo \(x>-1\).}

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