1. Construímos um termômetro e o graduamos em uma escala que denominamos P , de tal forma que as temperaturas 10^{\circ} \mathrm{P} e 80^{\circ} \mathrm{P} correspondem a 0^{\circ} \mathrm{C} e 100^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a temperatura em P que equivale a 30^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá uma graduação nova chamada escala P e fornece duas correspondências entre essa escala e a escala Celsius. As informações importantes são:
  • 10^{\circ}\mathrm{P} corresponde a 0^{\circ}\mathrm{C}.
  • 80^{\circ}\mathrm{P} corresponde a 100^{\circ}\mathrm{C}.
O que o problema pede:
  • Calcular a temperatura na escala P que equivale a 30^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 2

Vamos modelar a relação entre as escalas. É razoável (e usual em termometria) assumir que a transformação entre duas escalas termométricas é linear: ao dobrar uma diferença de temperatura numa escala, dobra-se na outra. Então introduzimos duas variáveis:
  • P é a temperatura medida na escala P (em ^{\circ}\mathrm{P}).
  • C é a temperatura medida em Celsius (em ^{\circ}\mathrm{C}).
A forma geral de uma função linear é
C = aP + b,
onde a é a inclinação (quanto muda C quando P muda uma unidade) e b é o intercepto (o valor de C quando P=0). Vou explicar: a e b são constantes que determinam o ajuste entre as duas escalas; precisamos encontrá-las usando os dois pares de pontos dados.

Passo 3

Usamos os dois pares conhecidos para montar um sistema. Para P=10 temos C=0, então substituindo na equação C=aP+b obtemos:
0 = a\cdot 10 + b.
Para P=80 temos C=100, então:
100 = a\cdot 80 + b.
Agora vamos resolver esse sistema para a e b.

Passo 4

Primeiro, da primeira equação isolamos b:
0 = 10a + b \quad\Rightarrow\quad b = -10a.
Substituímos esse b na segunda equação:
100 = 80a + b = 80a + (-10a) = 70a.
Logo,
a = \frac{100}{70} = \frac{10}{7}.
Agora voltamos e achamos b:
b = -10a = -10\cdot\frac{10}{7} = -\frac{100}{7}.

Passo 5

Temos, portanto, a relação completa entre as escalas:
C = \frac{10}{7}P - \frac{100}{7}.
Essa fórmula diz: para qualquer temperatura P em ^{\circ}\mathrm{P} obtemos a temperatura correspondente em ^{\circ}\mathrm{C}. Para facilitar a conta no caso concreto, é frequentemente mais prático reescrever a relação de modo que C esteja em função de P-10, já que sabemos que em P=10 temos C=0. Observe que a equação pode ser manipulada assim:
C = \frac{10}{7}(P-10).
Isso é equivalente e às vezes mais intuitivo: a cada aumento de 1^{\circ}\mathrm{P} acima de 10^{\circ}\mathrm{P}, C aumenta \tfrac{10}{7}{}^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 6

Agora calculamos P quando C=30. Partimos da forma conveniente:
C = \frac{10}{7}(P-10).
Substituímos C=30:
30 = \frac{10}{7}(P-10).
Isolamos P-10 multiplicando ambos os lados por \tfrac{7}{10}:
P-10 = 30\cdot\frac{7}{10} = 3\cdot 7 = 21.
Portanto
P = 21 + 10 = 31.

Passo 7

Checagem rápida para confiança: se P=31 então P-10=21 e C=\tfrac{10}{7}\cdot 21 = 10\cdot 3 = 30, que bate com o dado. Perfeito — nossa transformação e cálculo estão corretos.

Resposta

31^{\circ}\mathrm{P}

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