- Construímos um termômetro e o graduamos em uma escala que denominamos P , de tal forma que as temperaturas
e
correspondem a
e
. Calcule a temperatura em
que equivale a
.
Passo 1
O enunciado dá uma graduação nova chamada escala
e fornece duas correspondências entre essa escala e a escala Celsius. As informações importantes são:
-
corresponde a . -
corresponde a .
O que o problema pede:
- Calcular a temperatura na escala
que equivale a .
Passo 2
Vamos modelar a relação entre as escalas. É razoável (e usual em termometria) assumir que a transformação entre duas escalas termométricas é linear: ao dobrar uma diferença de temperatura numa escala, dobra-se na outra. Então introduzimos duas variáveis:
-
é a temperatura medida na escala (em ). -
é a temperatura medida em Celsius (em ).
A forma geral de uma função linear é
onde
é a inclinação (quanto muda
quando
muda uma unidade) e
é o intercepto (o valor de
quando
). Vou explicar:
e
são constantes que determinam o ajuste entre as duas escalas; precisamos encontrá-las usando os dois pares de pontos dados.
Passo 3
Usamos os dois pares conhecidos para montar um sistema. Para
temos
, então substituindo na equação
obtemos:
Para
temos
, então:
Agora vamos resolver esse sistema para
e
.
Passo 4
Primeiro, da primeira equação isolamos
:
Substituímos esse
na segunda equação:
Logo,
Agora voltamos e achamos
:
Passo 5
Temos, portanto, a relação completa entre as escalas:
Essa fórmula diz: para qualquer temperatura
em
obtemos a temperatura correspondente em
. Para facilitar a conta no caso concreto, é frequentemente mais prático reescrever a relação de modo que
esteja em função de
, já que sabemos que em
temos
. Observe que a equação pode ser manipulada assim:
Isso é equivalente e às vezes mais intuitivo: a cada aumento de
acima de
,
aumenta
.
Passo 6
Agora calculamos
quando
. Partimos da forma conveniente:
Substituímos
:
Isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Portanto
Passo 7
Checagem rápida para confiança: se
então
e
, que bate com o dado. Perfeito — nossa transformação e cálculo estão corretos.