1. Duas barras de zinco, \alpha_{\text {zinco }}=26 \times 10^{-6 \circ} \mathrm{C}^{-1}, de 5,5 \mathrm{~m} cada são colocadas na mesma direção e separadas por uma distância de 1,1 \mathrm{~cm}, tendo suas extremidades presas para que a dilatação de ambas ocorra no sentido de seu encontro. Calcule a variação de temperatura que cada uma deve ter para que suas extremidades livres se encontrem.

Passo 1

O enunciado dá duas barras idênticas de zinco com comprimento inicial de 5,5\\ \mathrm{m} cada, coeficiente de dilatação linear \alpha_{\text{zinco}}=26\times10^{-6}\\ ^{\circ}\mathrm{C}^{-1}, colocadas na mesma direção e separadas por uma distância de 1,1\\ \mathrm{cm}. As extremidades externas estão presas de modo que, ao aquecer (ou esfriar), cada barra só pode alongar no sentido da outra barra. Pergunta-se qual variação de temperatura \Delta T cada barra deve sofrer para que as extremidades livres se encontrem (isto é, para que o vão entre elas se feche).
Informações relevantes:
L=5,5\\ \mathrm{m},\qquad \alpha=26\times10^{-6}\\ ^{\circ}\mathrm{C}^{-1},\qquad g=1,1\\ \mathrm{cm}.

Passo 2

Conceito importante (aulas rápidas, feito de forma simples): a dilatação linear de uma barra homogênea quando sua temperatura varia é dada pela fórmula
\Delta L=\alpha\,L\,\Delta T,
onde
  • \Delta L é o aumento de comprimento (em metros),
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear (em ^\circ\mathrm{C}^{-1}),
  • L é o comprimento inicial (em metros),
  • \Delta T é a variação de temperatura (em ^\circ\mathrm{C}).
Explicando devagar: se a temperatura sobe \Delta T, cada pedaço da barra aumenta proporcionalmente ao seu comprimento original; o fator de proporcionalidade é \alpha. Essa fórmula é básica e muito usada em provas — decora e entenda: comprimento maior → maior \Delta L; maior \alpha → maior \Delta L.

Passo 3

Condição para as extremidades livres se encontrarem: cada barra alonga uma quantidade \Delta L (elas são idênticas e sujeitas à mesma \Delta T); portanto a redução do vão total é 2\Delta L. Para fechar o vão g precisamos de
2\Delta L = g.
Não estou supondo nada misterioso: as duas barras avançam uma em direção à outra, então somam-se os alongamentos.

Passo 4

Usando a fórmula da dilatação em cada barra, \Delta L=\alpha L \Delta T, e a condição do passo anterior:
2(\alpha L \Delta T)=g.
Isolando \Delta T:
\Delta T=\frac{g}{2\alpha L}.
Aqui fiz apenas álgebra elementar: multipliquei por 2 o termo e depois dividi ambos os lados por 2\alpha L.

Passo 5

Agora colocamos os valores numéricos. Primeiro convertemos o vão para metros:
g=1,1\\ \mathrm{cm}=0,011\\ \mathrm{m}.
Substituindo em
\Delta T=\frac{0,011}{2\cdot(26\times10^{-6})\cdot5,5}.
Calcule o denominador passo a passo:
26\times5,5=143,
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2\cdot(26\times10^{-6})\cdot5,5=2\cdot143\times10^{-6}=286\times10^{-6}=2,86\times10^{-4}.

Passo 6

Dividindo:
\Delta T=\frac{0,011}{2,86\times10^{-4}}\approx38,461538\ldots\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
Arredondando de forma prática para duas casas decimais (comum em provas):
\Delta T\approx38,46\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
Interpretação rápida e motivadora: cada barra precisa aquecer cerca de 38^\circ\mathrm{C} para que o alongamento conjunto feche o vão de 1{,}1\\ \mathrm{cm}. Dá pra fazer na prova seguindo a fórmula e as contas acima — não é difícil, só é método.

Resposta

\Delta T\approx38,46^\circ\mathrm{C}

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