Construir o cilindro como diretriz a curva
e direção da reta que tem como vetor diretor o vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para construir um cilindro que tem como diretriz a curva
no intervalo
e que se estende na direção de uma reta com vetor diretor
. Para isso, vamos precisar entender o que é um cilindro gerado por uma diretriz e uma direção, além de usar um pouco de álgebra vetorial para montar as equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um cilindro pode ser gerado movendo uma curva, chamada de diretriz, ao longo de uma reta que determina a direção do cilindro. No nosso caso, a diretriz é a curva
e a direção é dada pelo vetor
.
Passo 3
Para modelar matematicamente esse cilindro, precisamos parametrizar a posição dos pontos que compõem o cilindro. Vamos usar dois parâmetros:
para percorrer a diretriz e
para mover a diretriz na direção do vetor
.
Passo 4
A parámetro da diretriz
pode ser representada como
, onde
varia de
a
. O vetor de direção
ser�� usado para deslocar essa curva no espaço.
Passo 5
Agora, para incluir a direção do vetor
, adicionamos um termo que depende de outro parâmetro
. Assim, a posição de qualquer ponto no cilindro pode ser descrita por:
onde
está entre
e
, e
pode variar livremente para cobrir toda a extensão do cilindro.
Passo 6
Essa parametrização
descreve todos os pontos do cilindro desejado. Basicamente, para cada valor de
na diretriz, variamos
para mover a curva na direção do vetor
, construindo assim o cilindro.
Resposta
O cilindro é definido pela parametrização
onde
e
é um parâmetro real que varia livremente.