Construir o cilindro como diretriz a curva y=sem(x)(-2 pi <= x <= 2 pi) e direção da reta que tem como vetor diretor o vetor u=(1,1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para construir um cilindro que tem como diretriz a curva no intervalo e que se estende na direção de uma reta com vetor diretor . Para isso, vamos precisar entender o que é um cilindro gerado por uma diretriz e uma direção, além de usar um pouco de álgebra vetorial para montar as equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um cilindro pode ser gerado movendo uma curva, chamada de diretriz, ao longo de uma reta que determina a direção do cilindro. No nosso caso, a diretriz é a curva e a direção é dada pelo vetor .

Passo 3

Para modelar matematicamente esse cilindro, precisamos parametrizar a posição dos pontos que compõem o cilindro. Vamos usar dois parâmetros: para percorrer a diretriz e para mover a diretriz na direção do vetor .

Passo 4

A parámetro da diretriz pode ser representada como , onde varia de a . O vetor de direção ser�� usado para deslocar essa curva no espaço.

Passo 5

Agora, para incluir a direção do vetor R(t, s) = r(t) + s cdot u = (t, sin(t), 0) + s(1,1,1) = (t + s, sin(t) + s, s) , adicionamos um termo que depende de outro parâmetro . Assim, a posição de qualquer ponto no cilindro pode ser descrita por:
onde está entre e , e pode variar livremente para cobrir toda a extensão do cilindro.

Passo 6

Essa parametrização descreve todos os pontos do cilindro desejado. Basicamente, para cada valor de na diretriz, variamos para mover a curva na direção do vetor , construindo assim o cilindro.

Resposta

O cilindro é definido pela parametrização
R(t, s) = (t + s, sin(t) + s, s)
onde e é um parâmetro real que varia livremente.

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