Mostre que um conjunto é X aberto se, e somente se, o seu complemento R backslash X é fechado. Mostre com cálculos

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que um conjunto $ X $ é aberto se, e somente se, o seu complemento $ \mathbb{R} \backslash X $ é fechado. Vamos usar conceitos de topologia, especificamente sobre conjuntos abertos e fechados, e veremos como relacioná-los passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser aberto. Em topologia, um conjunto $ X $ é aberto se, para cada ponto $ x $ em $ X $, existe uma vizinhança ao redor de $ x $ que está completamente dentro de $ X $. Isso significa que não há “bordas” estranhas em $ X $.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é um conjunto fechado. Um conjunto $ Y $ é fechado se o seu complemento $ \mathbb{R} \backslash Y $ é aberto. Ou seja, se o que não está em $ Y $ forma um conjunto aberto, então $ Y $ é fechado. Isso estabelece uma relação direta entre conjuntos abertos e fechados através de seus complementos.

Passo 4

Vamos começar demonstrando que se $ X $ é aberto, então $ \mathbb{R} \backslash X $ é fechado.
  • Suponha que $ X $ seja aberto.
  • Pela definição, o complemento de $ X $, que é $ \mathbb{R} \backslash X $, deve ser fechado.
  • Isso ocorre porque, se $ X $ é aberto, não há pontos de fronteira “grampeados” fora de $ X $, fazendo com que $ \mathbb{R} \backslash X $ satisfaça a condição para ser fechado.

Passo 5

Agora, vamos demonstrar o sentido contrário: se $ \mathbb{R} \backslash X $ é fechado, então $ X $ é aberto.
  • Suponha que $ \mathbb{R} \backslash X $ seja fechado.
  • Pela definição de conjunto fechado, o complemento de $ \mathbb{R} \backslash X $, que é $ X $, deve ser aberto.
  • Assim, se o complemento de $ X $ é fechado, então $ X $ necessariamente é aberto.

Resposta

Portanto, mostramos que um conjunto $ X $ é aberto se, e somente se, o seu complemento $ \mathbb{R} \backslash X $ é fechado.

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