Mostre que a união de vários conjuntos fechados não necessariamente é um conjunto fechado. Mostre com cálculos

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para mostrar que a união de vários conjuntos fechados não é necessariamente um conjunto fechado. Para isso, a gente vai precisar entender o que são conjuntos fechados e como funciona a união deles. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto fechado. No contexto da matemática, especialmente na análise real, um conjunto é fechado se ele contém todos os seus pontos de acumulação (ou pontos de fechamento). Isso significa que se uma sequência de pontos dentro do conjunto converge para algum ponto, esse ponto também deve estar dentro do conjunto.
Agora, a união de conjuntos é simplesmente juntar todos os elementos de vários conjuntos em um só. O que precisamos provar é que, mesmo que cada conjunto individualmente seja fechado, a união deles pode deixar de ser fechada.

Passo 3

Vamos usar um exemplo concreto para ilustrar isso. Considere os seguintes conjuntos fechados na reta real R:
Cn = [0, 1 - 1n]
onde n é um número inteiro positivo ( n = 1, 2, 3, dots).
Cada Cn é fechado porque é um intervalo fechado que inclui seus pontos finais.

Passo 4

Agora, vamos fazer a união desses conjuntos para todos os valores de n:
cupn=1^infty Cn = cupn=1^infty [0, 1 - 1n]
Observa que à medida que n aumenta, 1 - 1n se aproxima de 1. Então, a união de todos esses conjuntos será:
cupn=1^infty [0, 1 - 1n) = [0, 1)
Isso porque para qualquer número menor que 1, existe um n grande o suficiente para que 1 - 1n seja maior do que esse número.

Passo 5

Agora, vamos verificar se [0, 1) é um conjunto fechado. Para isso, precisamos ver se ele contém todos os seus pontos de acumulação.
Considere a sequência xn = 1 - 1n. Cada termo dessa sequência está em [0, 1), e limn to infty xn = 1. O número 1 é um ponto de acumulação de [0, 1), mas ele não está incluído no conjunto [0, 1).

Passo 6

Como [0, 1) não contém o ponto de acumulação 1, ele não é fechado. Portanto, mostramos que a união dos conjuntos fechados Cn resultou em um conjunto que não é fechado.

Resposta

A união dos conjuntos fechados Cn = [0, 1 - 1n] resulta no conjunto [0, 1), que não é fechado. Assim, demonstramos que a união de vários conjuntos fechados não necessariamente forma um conjunto fechado.

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