Mostre que os conjuntos emptyset e R são abertos e fechados ao mesmo tempo. Mostre com cálculos

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que os conjuntos vazios, denotado por emptyset, e todo o conjunto dos números reais, R, são abertos e fechados ao mesmo tempo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre topologia básica, que estuda as propriedades dos conjuntos que são preservadas através de deformações contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que significa um conjunto ser aberto. Em topologia, um conjunto é aberto se, para qualquer ponto dentro dele, existe uma “bolinha” (intervalo aberto, no caso dos números reais) que está completamente dentro do conjunto.
Por exemplo, no conjunto R, se você pegar qualquer número real, pode sempre desenhar uma pequena distância para a esquerda e para a direita que ainda está dentro de todos os números reais. Então, R é aberto.
Já o conjunto vazio emptyset não tem nenhum ponto. Como não há pontos para testar, não há nada que viole a condição de ser aberto. Portanto, emptyset também é considerado aberto.

Passo 3

Agora, vamos ver o que significa um conjunto ser fechado. Um conjunto é fechado se seu complementar (todos os pontos que não estão no conjunto) é aberto.
Começando com R, o complementar de R nos números reais é o conjunto vazio emptyset, que já mostramos que é aberto. Então, R é fechado.
Para o conjunto vazio emptyset, o complementar de emptyset é todo o conjunto R, que também sabemos que é aberto. Portanto, emptyset é fechado.

Resposta

Assim, mostramos que tanto o conjunto vazio emptyset quanto o conjunto de todos os números reais R são abertos e fechados ao mesmo tempo.

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