Mostre que os conjuntos
e
são abertos e fechados ao mesmo tempo. Mostre com cálculos
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que os conjuntos vazios, denotado por
, e todo o conjunto dos números reais,
, são abertos e fechados ao mesmo tempo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre topologia básica, que estuda as propriedades dos conjuntos que são preservadas através de deformações contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que significa um conjunto ser aberto. Em topologia, um conjunto é aberto se, para qualquer ponto dentro dele, existe uma “bolinha” (intervalo aberto, no caso dos números reais) que está completamente dentro do conjunto.
Por exemplo, no conjunto
, se você pegar qualquer número real, pode sempre desenhar uma pequena distância para a esquerda e para a direita que ainda está dentro de todos os números reais. Então,
é aberto.
Já o conjunto vazio
não tem nenhum ponto. Como não há pontos para testar, não há nada que viole a condição de ser aberto. Portanto,
também é considerado aberto.
Passo 3
Agora, vamos ver o que significa um conjunto ser fechado. Um conjunto é fechado se seu complementar (todos os pontos que não estão no conjunto) é aberto.
Começando com
, o complementar de
nos números reais é o conjunto vazio
, que já mostramos que é aberto. Então,
é fechado.
Para o conjunto vazio
, o complementar de
é todo o conjunto
, que também sabemos que é aberto. Portanto,
é fechado.
Resposta
Assim, mostramos que tanto o conjunto vazio
quanto o conjunto de todos os números reais
são abertos e fechados ao mesmo tempo.