Construir as curvas de nível das funções dadas.
z=1-|x|-|y|

Passo 1

O enunciado pede para construir as curvas de nível da função
z = 1 - |x| - |y|
Ou seja, para cada valor c de z queremos o conjunto de pontos (x,y) tais que 1 - |x| - |y| = c. O conteúdo aqui é o estudo das curvas de nível de funções de duas variáveis, usando a definição
(x,y)mid f(x,y)=c

Passo 2

Impondo f(x,y)=c temos
1 - |x| - |y| = c
que leva a
|x| + |y| = 1 - c
Para existir solução precisamos de 1 - c >= 0, ou seja
c <= 1

Passo 3

A equação
|x| + |y| = k
com k>=0 descreve um losango (diamante) centrado na origem com vértices em (pm k,0) e (0,pm k). Portanto, para cada c<=1 a curva de nível z=c é o losango de “raio”
k = 1 - c

Passo 4

Especificando alguns casos:
  • Se c>1, então 1-c<0 não há pontos satisfazendo |x|+|y|=1-c, curva vazia.
  • Se c=1, então k=0 e a curva reduz-se ao ponto (0,0).
  • Para c<1, cada nível é um losango de vértices
    (pm(1-c),0) e (0,pm(1-c)). Ao decrescer c abaixo de zero, o losango cresce.

Resposta

Para z=c as curvas de nível são dadas por
|x| + |y| = 1 - c,
válida só para c<=1. Em c>1 não há curva de nível.

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