Construir os diagramas de Bode para as seguintes funções de transferência:
H(j w)=\frac{0,2(10+j w)}{j w(2+j w)}

Passo 1

O enunciado pede: construir os diagramas de Bode (magnitude e fase) para a função de transferência
H(j\omega)=\frac{0,2\,(10+j\omega)}{j\omega(2+j\omega)}.
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
  • A função de transferência é H(j\omega) acima.
  • A variável de frequência é \omega (rad/s).
    O que se deve entregar: os diagramas de Bode (asymptótico e as fórmulas/expressões exatas que permitem traçá-los), com indicação das frequências de canto, inclinações (slopes) e comportamento de fase.

Passo 2

Simplificar e fatorar a função para identificar zeros e polos em forma padrão (isso facilita o desenho do Bode).
Começamos manipulando numericamente:
0,2\cdot 10 = 2,\qquad 2\cdot j\omega = 2j\omega,
portanto
H(j\omega)=\frac{2(1+j\omega/10)}{2j\omega(1+j\omega/2)}=\frac{1}{j\omega}\cdot\frac{1+j\omega/10}{1+j\omega/2}.
Esta forma mostra claramente os fatores padrão:
  • termo integrador: \dfrac{1}{j\omega} (polo em \omega=0),
  • zero de primeira ordem em \omega_z=10 (fator 1+j\omega/10),
  • polo de primeira ordem em \omega_p=2 (fator 1+j\omega/2).

Passo 3

Identificar frequências de canto e contribuição de cada fator para o Bode (regrinhas rápidas):
  • Polo em 0 (integrador): contribui com inclinação de -20\\ \text{dB/dec} e fase -90^\circ constante (no modelo assintótico).
  • Polo em \omega_p=2\\ \text{rad/s}: acrescenta -20\\ \text{dB/dec} a partir de \omega=2 e contribui com fase que vai de 0^\circ (baixo \omega) para -90^\circ (alto \omega), transitando por -45^\circ em \omega=2.
  • Zero em \omega_z=10\\ \text{rad/s}: acrescenta +20\\ \text{dB/dec} a partir de \omega=10 e contribui com fase que vai de 0^\circ (baixo \omega) para +90^\circ (alto \omega), transitando por +45^\circ em \omega=10.
Combinando:
  • Para \omega<2: inclinação total assintótica = -20\\ \text{dB/dec} (apenas o integrador).
  • Para 2<\omega<10: inclinação = -20-20=-40\\ \text{dB/dec} (integrador + polo em 2).
  • Para \omega>10: inclinação = -40+20=-20\\ \text{dB/dec} (o zero em 10 reduz a queda).

Passo 4

Expressão exata da magnitude e sua forma em dB (útil para pontos de ancoragem e para traçar o Bode exato, além do assintótico).
A magnitude exata é
|H(j\omega)|=\frac{1}{\omega}\cdot\frac{\sqrt{1+(\omega/10)^2}}{\sqrt{1+(\omega/2)^2}}.
Em dB:
20\log_{10}|H(j\omega)|=-20\log_{10}\omega +10\log_{10}\bigl(1+(\omega/10)^2\bigr) -10\log_{10}\bigl(1+(\omega/2)^2\bigr).
Isto permite calcular o ganho exato em qualquer \omega para ancorar as retas assintóticas.

Passo 5

Calcular valores numéricos em pontos-chave para ancorar o gráfico assintótico (faixa usuais: \omega=1,\\\ 2,\\\ 10).
Usaremos aproximações numéricas (com vírgula decimal):
  • Para \omega=1:
|H(j1)|=\frac{1}{1}\cdot\frac{\sqrt{1+(1/10)^2}}{\sqrt{1+(1/2)^2}}=\frac{\sqrt{1,01}}{\sqrt{1,25}}\approx\frac{1,00499}{1,11803}\approx0,899,
20\log_{10}|H(j1)|\approx -0,93\\ \text{dB}.
  • Para \omega=2:
|H(j2)|=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{1+(2/10)^2}}{\sqrt{1+(2/2)^2}}=\frac{0,5\sqrt{1,04}}{\sqrt{2}}\approx0,3608,
20\log_{10}|H(j2)|\approx -8,86\\ \text{dB}.
  • Para \omega=10:
|H(j10)|=\frac{1}{10}\cdot\frac{\sqrt{1+1}}{\sqrt{1+(10/2)^2}}=\frac{0,1\sqrt{2}}{\sqrt{26}}\approx0,027743,
20\log_{10}|H(j10)|\approx -31,14\\ \text{dB}.
Esses pontos servem para posicionar as retas assintóticas: por exemplo, ao desenhar a reta com slope -20\\ \text{dB/dec} abaixo de 2, ela deve passar perto de -0,93\\ \text{dB} em \omega=1; em \omega=2 o valor exato é -8,86\\ \text{dB}, e assim por diante.

Passo 6

Expressão exata da fase e valores-chave.
A fase exata (em graus) é obtida somando as fases de cada fator:
\angle H(j\omega)=-90^\circ + \arctan\!\bigl(\omega/10\bigr) - \arctan\!\bigl(\omega/2\bigr),
onde \arctan está em graus (converter se calcular em radianos).
Alguns valores importantes:
  • \omega\to 0: \angle H\to -90^\circ (integrador domina).
  • \omega=2:
\angle H(j2)=-90^\circ+\arctan(0,2)-\arctan(1)\approx -90^\circ+11,31^\circ-45^\circ=-123,69^\circ.
  • \omega=10:
\angle H(j10)=-90^\circ+\arctan(1)-\arctan(5)\approx -90^\circ+45^\circ-78,69^\circ=-123,69^\circ.
  • \omega\to\infty: \angle H\to -90^\circ+90^\circ-90^\circ=-90^\circ.
    Observação: a fase começa em -90^\circ, fica mais negativa em torno das frequências de canto (atingindo aproximadamente -123,7^\circ na região intermediária) e retorna para -90^\circ em altas frequências.

Passo 7

Como desenhar os diagramas (receita prática, passo a passo para a prova)
  1. Para o diagrama de magnitude (assintótico):
    • Marque as frequências de canto em \omega=2 e \omega=10.
    • Para \omega<2: desenhe uma reta com inclinação -20\\ \text{dB/dec}. Se quiser ancorar, use o ponto \omega=1 com -0,93\\ \text{dB}.
    • Em \omega=2 a inclinação diminui mais -20\\ \text{dB/dec} (total -40\\ \text{dB/dec} para 2<\omega<10).
    • Em \omega=10 adicione +20\\ \text{dB/dec} (total -20\\ \text{dB/dec} para \omega>10).
    • Ajuste levemente as retas para passar pelos pontos exatos calculados em \omega=2 e \omega=10 se quiser uma boa aproximação.
  2. Para o diagrama de fase (assintótico em blocos de \pm 45^\circ por década):
    • Lembre que o integrador já dá -90^\circ em toda a faixa.
    • O polo em 2 começa a introduzir fase negativa uma década antes ( \omega\approx 0,2) e termina uma década depois ( \omega\approx 20), com -45^\circ adicionais em \omega=2.
    • O zero em 10 começa a introduzir fase positiva uma década antes ( \omega\approx 1) e termina uma década depois ( \omega\approx 100), com +45^\circ em \omega=10.
    • Como resultado prático, a fase total fica perto de -90^\circ para \omega\ll 1, desce para aproximadamente -123,7^\circ na região intermediária (entre 2 e 10) e retorna para -90^\circ em alta frequência.
  3. Se precisar do Bode exato, plote as expressões numéricas dos passos 4 e 6 em escala logarítmica.

Passo 8

Resumo final dos elementos necessários para o desenho (fácil de copiar na prova):
  • Forma fatorada:
H(j\omega)=\frac{1}{j\omega}\cdot\frac{1+j\omega/10}{1+j\omega/2}.
  • Frequências de canto: \omega_p=2\\ \text{rad/s} (polo), \omega_z=10\\ \text{rad/s} (zero). Polo em 0 (integrador).
  • Inclinações assintóticas:
    • \omega<2:\\\ -20\\ \text{dB/dec}.
    • 2<\omega<10:\\\ -40\\ \text{dB/dec}.
    • \omega>10:\\\ -20\\ \text{dB/dec}.
  • Fórmula exata da magnitude:
|H(j\omega)|=\frac{1}{\omega}\cdot\frac{\sqrt{1+(\omega/10)^2}}{\sqrt{1+(\omega/2)^2}}.
  • Valores de ancoragem:
    • \omega=1:\\\ 20\log_{10}|H|\approx -0,93\\ \text{dB}.
    • \omega=2:\\\ 20\log_{10}|H|\approx -8,86\\ \text{dB}.
    • \omega=10:\\\ 20\log_{10}|H|\approx -31,14\\ \text{dB}.
  • Fórmula exata da fase:
\angle H(j\omega)=-90^\circ + \arctan\!\bigl(\omega/10\bigr) - \arctan\!\bigl(\omega/2\bigr).
  • Valores de fase:
    • \omega\to 0:\\ \angle H\approx -90^\circ.
    • \omega=2:\\ \angle H\approx -123,69^\circ.
    • \omega=10:\\ \angle H\approx -123,69^\circ.
    • \omega\to\infty:\\ \angle H\approx -90^\circ.

Resposta

H(j\omega)=\dfrac{1}{j\omega}\cdot\dfrac{1+j\omega/10}{1+j\omega/2}.\n
Frequências de canto: \omega_p=2\\ \text{rad/s}, \omega_z=10\\ \text{rad/s} (polo em 0 devido ao integrador).\n
Inclinações assintóticas: \omega<2:\\\ -20\\ \text{dB/dec};\quad 2<\omega<10:\\\ -40\\ \text{dB/dec};\quad \omega>10:\\\ -20\\ \text{dB/dec}.\n\n
Magnitude exata: |H(j\omega)|=\dfrac{1}{\omega}\dfrac{\sqrt{1+(\omega/10)^2}}{\sqrt{1+(\omega/2)^2}} com\n \;20\log_{10}|H(j1)|\approx -0,93\\ \text{dB},\;\;20\log_{10}|H(j2)|\approx -8,86\\ \text{dB},\;\;20\log_{10}|H(j10)|\approx -31,14\\ \text{dB}.\n
Fase exata: \angle H(j\omega)=-90^\circ+\arctan(\omega/10)-\arctan(\omega/2) com\n \;\angle H(0)\approx -90^\circ,\;\angle H(2)\approx -123,69^\circ,\;\angle H(10)\approx -123,69^\circ,\;\angle H(\infty)\approx -90^\circ.

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