Construir os diagramas de Bode para as seguintes funções de transferência:
Passo 1
O enunciado pede: construir os diagramas de Bode (magnitude e fase) para a função de transferência
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
- A função de transferência é
acima. - A variável de frequência é
(rad/s).
O que se deve entregar: os diagramas de Bode (asymptótico e as fórmulas/expressões exatas que permitem traçá-los), com indicação das frequências de canto, inclinações (slopes) e comportamento de fase.
Passo 2
Simplificar e fatorar a função para identificar zeros e polos em forma padrão (isso facilita o desenho do Bode).
Começamos manipulando numericamente:
Começamos manipulando numericamente:
portanto
Esta forma mostra claramente os fatores padrão:
- termo integrador:
(polo em ), - zero de primeira ordem em
(fator ), - polo de primeira ordem em
(fator ).
Passo 3
Identificar frequências de canto e contribuição de cada fator para o Bode (regrinhas rápidas):
- Polo em
(integrador): contribui com inclinação de e fase constante (no modelo assintótico). - Polo em
: acrescenta a partir de e contribui com fase que vai de (baixo ) para (alto ), transitando por em . - Zero em
: acrescenta a partir de e contribui com fase que vai de (baixo ) para (alto ), transitando por em .
Combinando:
- Para
: inclinação total assintótica = (apenas o integrador). - Para
: inclinação = (integrador + polo em 2). - Para
: inclinação = (o zero em 10 reduz a queda).
Passo 4
Expressão exata da magnitude e sua forma em dB (útil para pontos de ancoragem e para traçar o Bode exato, além do assintótico).
A magnitude exata é
A magnitude exata é
Em dB:
Isto permite calcular o ganho exato em qualquer
para ancorar as retas assintóticas.
Passo 5
Calcular valores numéricos em pontos-chave para ancorar o gráfico assintótico (faixa usuais:
).
Usaremos aproximações numéricas (com vírgula decimal):
Usaremos aproximações numéricas (com vírgula decimal):
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Esses pontos servem para posicionar as retas assintóticas: por exemplo, ao desenhar a reta com slope
abaixo de
, ela deve passar perto de
em
; em
o valor exato é
, e assim por diante.
Passo 6
Expressão exata da fase e valores-chave.
A fase exata (em graus) é obtida somando as fases de cada fator:
A fase exata (em graus) é obtida somando as fases de cada fator:
onde
está em graus (converter se calcular em radianos).
Alguns valores importantes:
Alguns valores importantes:
-
: (integrador domina). -
:
-
:
-
: .
Observação: a fase começa em, fica mais negativa em torno das frequências de canto (atingindo aproximadamente na região intermediária) e retorna para em altas frequências.
Passo 7
Como desenhar os diagramas (receita prática, passo a passo para a prova)
- Para o diagrama de magnitude (assintótico):
- Marque as frequências de canto em
e . - Para
: desenhe uma reta com inclinação . Se quiser ancorar, use o ponto com . - Em
a inclinação diminui mais (total para ). - Em
adicione (total para ). - Ajuste levemente as retas para passar pelos pontos exatos calculados em
e se quiser uma boa aproximação.
- Marque as frequências de canto em
- Para o diagrama de fase (assintótico em blocos de
por década): - Lembre que o integrador já dá
em toda a faixa. - O polo em
começa a introduzir fase negativa uma década antes ( ) e termina uma década depois ( ), com adicionais em . - O zero em
começa a introduzir fase positiva uma década antes ( ) e termina uma década depois ( ), com em . - Como resultado prático, a fase total fica perto de
para , desce para aproximadamente na região intermediária (entre 2 e 10) e retorna para em alta frequência.
- Lembre que o integrador já dá
- Se precisar do Bode exato, plote as expressões numéricas dos passos 4 e 6 em escala logarítmica.
Passo 8
Resumo final dos elementos necessários para o desenho (fácil de copiar na prova):
- Forma fatorada:
- Frequências de canto:
(polo), (zero). Polo em (integrador). - Inclinações assintóticas:
-
. -
. -
.
-
- Fórmula exata da magnitude:
- Valores de ancoragem:
-
- Fórmula exata da fase:
- Valores de fase:
-
Resposta
Frequências de canto:
Inclinações assintóticas: \n
Magnitude exata:
Fase exata: