Construir os diagramas de Bode para as seguintes funções de transferência:
H(s)=\frac{5(s+1)}{(s+2)(s+10)}

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede, sem começar a resolver ainda.
  • Enunciado: construir os diagramas de Bode (magnitude e fase) para a função de transferência
H(s)=\frac{5(s+1)}{(s+2)(s+10)}.
  • O que é pedido: obter os diagramas de Bode (linha assintótica e informações numéricas úteis para desenhar com precisão razoável).
  • Informações relevantes dadas pelo enunciado:
    • Zero real em s=-1 → frequência de canto \omega_z=1\\ \text{rad/s}.
    • Pólo real em s=-2 → frequência de canto \omega_{p1}=2\\ \text{rad/s}.
    • Pólo real em s=-10 → frequência de canto \omega_{p2}=10\\ \text{rad/s}.
    • Ganho numérico multiplicativo 5.
  • Resumo do que vamos obter: ganho em \omega=0 (ganho em CC), frequências de canto, leis de inclinação (dB/dec), valores de magnitude em dB em pontos-chave e expressão/valores da fase para pontos-chave. A partir disso dá para traçar os diagramas de Bode assintóticos e aproximados.

Passo 2

Colocar a função numa forma conveniente para a análise de Bode e calcular o ganho DC.
Escrevemos H(s) isolando o ganho DC multiplicativo:
H(s)=\frac{5(s+1)}{(s+2)(s+10)}=\left(\frac{5}{2\cdot10}\right)\frac{1+s/1}{(1+s/2)(1+s/10)}.
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H(s)=0,25\;\frac{1+s/1}{(1+s/2)(1+s/10)}.
Explicação curta: dividimos numeradores e denominadores por suas constantes de tempo para ter fatores da forma 1+s/\omega_c, que é a forma padrão para Bode.
Agora o ganho em s=0 (DC) é
H(0)=0,25\quad\Rightarrow\quad 20\log_{10}(|H(0)|)=20\log_{10}(0,25)=-12,04\\ \mathrm{dB}.
Isto significa que, para \omega\ll 1\\ \mathrm{rad/s}, a magnitude em dB começa em -12,04\\ \mathrm{dB}.

Passo 3

Determinar as frequências de canto e as contribuições de inclinação (dB/dec).
  • Zero em \omega_z=1\\ \mathrm{rad/s}: contribui com +20\\ \mathrm{dB/dec} para a inclinação após \omega=1.
  • Pólo em \omega_{p1}=2\\ \mathrm{rad/s}: contribui com -20\\ \mathrm{dB/dec} para a inclinação após \omega=2.
  • Pólo em \omega_{p2}=10\\ \mathrm{rad/s}: contribui com -20\\ \mathrm{dB/dec} para a inclinação após \omega=10.
Começando em baixas frequências ( \omega\ll1) a inclinação total é 0\\ \mathrm{dB/dec} (constante) porque os fatores 1+s/\omega estão próximos de 1. Ao atravessar cada canto a inclinação muda somando as contribuições acima. Resumindo as faixas:
  • \omega<1: inclinação 0\\ \mathrm{dB/dec}.
  • 1<\omega<2: inclinação +20\\ \mathrm{dB/dec} (zero domina).
  • 2<\omega<10: inclinação 0\\ \mathrm{dB/dec} (+20 e −20 se cancelam).
  • \omega>10: inclinação -20\\ \mathrm{dB/dec} (dois polos vs um zero).

Passo 4

Escrever a expressão para a magnitude em dB (exata) que permite calcular valores em pontos-chave:
20\log_{10}|H(j\omega)|=20\log_{10}(0,25)+20\log_{10}\bigl|1+j\omega/1\bigr|-20\log_{10}\bigl|1+j\omega/2\bigr|-20\log_{10}\bigl|1+j\omega/10\bigr|.
Isto é útil porque cada termo |1+j\omega/\omega_c|=\sqrt{1+(\omega/\omega_c)^2} e podemos calcular numericamente pontos-chave sem ambiguidade.

Passo 5

Calcular valores numéricos da magnitude (exata) em alguns pontos-chave para ajudar a traçar o diagrama com precisão: \omega=0{,}1,\\\ 1,\\\ 2,\\\ 10,\\\ 100 (rad/s). Utilizo |1+jx|=\sqrt{1+x^2}.
  1. \omega=0{,}1:
|1+j0{,}1|=\sqrt{1+0{,}1^2}=\sqrt{1{,}01}=1{,}00499,\quad |1+j0{,}05|=\sqrt{1+0{,}05^2}=1{,}00125,\quad |1+j0{,}01|=1{,}00005.
|H(j0{,}1)|=0{,}25\frac{1{,}00499}{1{,}00125\cdot1{,}00005}\approx0{,}2518\quad\Rightarrow\quad 20\log_{10}= -11,97\\ \mathrm{dB}.
  1. \omega=1:
|1+j1|=\sqrt{2}=1{,}4142,\quad |1+j1/2|=\sqrt{1+(1/2)^2}=\sqrt{1{,}25}=1{,}1180,
|1+j1/10|=\sqrt{1+(1/10)^2}=\sqrt{1{,}01}=1{,}00499.
|H(j1)|=0{,}25\frac{1{,}4142}{1{,}1180\cdot1{,}00499}\approx0{,}3151\quad\Rightarrow\quad 20\log_{10}= -10,03\\ \mathrm{dB}.
  1. \omega=2:
|1+j2|=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}=2{,}2361,\quad |1+j2/2|=|1+j1|=1{,}4142,
|1+j2/10|=\sqrt{1+0{,}2^2}=\sqrt{1{,}04}=1{,}0199.
|H(j2)|=0{,}25\frac{2{,}2361}{1{,}4142\cdot1{,}0199}\approx0{,}3873\quad\Rightarrow\quad 20\log_{10}= -8,24\\ \mathrm{dB}.
  1. \omega=10:
|1+j10|=\sqrt{101}=10{,}0499,\quad |1+j10/2|=\sqrt{1+5^2}=\sqrt{26}=5{,}0990,
|1+j10/10|=|1+j1|=1{,}4142.
|H(j10)|=0{,}25\frac{10{,}0499}{5{,}0990\cdot1{,}4142}\approx0{,}3484\quad\Rightarrow\quad 20\log_{10}= -9,16\\ \mathrm{dB}.
  1. \omega=100:
|1+j100|\approx100{,}005,\quad |1+j100/2|=\sqrt{1+50^2}\approx50{,}010,\quad |1+j100/10|\approx10{,}0499.
|H(j100)|\approx0{,}04975\quad\Rightarrow\quad 20\log_{10}= -26,06\\ \mathrm{dB}.
Comentário prático: esses pontos mostram o comportamento real (não só os segmentos assintóticos). Observe que entre 1 e 2 a magnitude sobe (de -10{,}03 para -8{,}24\\ \mathrm{dB}), depois fica praticamente plana até perto de 10, e cai para baixo de -20\\ \mathrm{dB/dec} para frequências bem altas.

Passo 6

Construir o diagrama de magnitude assintótico (regra prática para desenhar):
  • Partir de -12{,}04\\ \mathrm{dB} para \omega<1 com linha horizontal.
  • Em \omega=1 começa a inclinação +20\\ \mathrm{dB/dec}: traçar a reta que sobe com essa inclinação a partir do ponto de passagem em \omega=1. Para continuidade, usar o valor exato em \omega=1 (ou o valor inicial -12{,}04\\ \mathrm{dB} ajustado). É mais preciso colar a reta que tem o valor exato -10{,}03\\ \mathrm{dB} em \omega=1.
  • Em \omega=2 aplicar a correção de inclinação: a partir de \omega=2 a inclinação passa a 0\\ \mathrm{dB/dec}. Traçar a reta horizontal a partir de -8{,}24\\ \mathrm{dB} em \omega=2.
  • Em \omega=10 a inclinação passa para -20\\ \mathrm{dB/dec}: traçar a reta com essa inclinação a partir do ponto em \omega=10 (valor aproximado -9{,}16\\ \mathrm{dB}).
Isto produz o esqueleto assintótico do diagrama de magnitude. Usar os pontos exatos calculados no Passo 5 para ancorar as linhas dá uma boa aproximação gráfica.

Passo 7

Expressão e construção do diagrama de fase. Fórmula exata e valores em pontos-chave.
A fase de H(j\omega) é a soma das fases dos fatores:
\angle H(j\omega)=\angle(1+j\omega/1)-\angle(1+j\omega/2)-\angle(1+j\omega/10).
E para cada termo \angle(1+j\omega/\omega_c)=\arctan(\omega/\omega_c) (em radianos, converter para graus multiplicando por 180^\circ/\pi).
Calcular valores numéricos úteis (em graus) em pontos-chave:
  • \omega=0{,}1: \angle H(j0{,}1)=\arctan(0{,}1)-\arctan(0{,}05)-\arctan(0{,}01)\approx 5{,}71^\circ-2{,}86^\circ-0{,}57^\circ=2{,}28^\circ.
  • \omega=1: \angle H(j1)=\arctan(1)-\arctan(0{,}5)-\arctan(0{,}1)\approx45{,}00^\circ-26{,}57^\circ-5{,}71^\circ=12{,}72^\circ.
  • \omega=2: \angle H(j2)=\arctan(2)-\arctan(1)-\arctan(0{,}2)\approx63{,}43^\circ-45{,}00^\circ-11{,}31^\circ=7{,}13^\circ.
  • \omega=10: \angle H(j10)=\arctan(10)-\arctan(5)-\arctan(1)\approx84{,}29^\circ-78{,}69^\circ-45{,}00^\circ=-39{,}40^\circ.
  • \omega=100: \angle H(j100)\approx89{,}43^\circ-88{,}85^\circ-84{,}29^\circ=-83{,}71^\circ.
Limites: \omega\to 0\Rightarrow \angle H\to 0^\circ. \omega\to\infty\Rightarrow \angle H\to 90^\circ-90^\circ-90^\circ=-90^\circ.

Passo 8

Como traçar a fase assintótica (regra prática de Bode) — construção por partes:
  • Cada zero em \omega_z introduz uma variação de fase de +90^\circ que se inicia aproximadamente em \omega_z/10, atinge +45^\circ em \omega_z e termina em +90^\circ em 10\omega_z. A variação é aproximadamente linear (em graus) em escala logaritmica de \omega.
  • Cada pólo em \omega_p introduz uma variação de fase de -90^\circ entre \omega_p/10 e 10\omega_p, com -45^\circ em \omega_p.
  • No nosso caso:
    • Zero em 1: vai de 0^\circ (em 0{,}1) até +90^\circ (em 10).
    • Pólo em 2: vai de 0^\circ (em 0{,}2) até -90^\circ (em 20).
    • Pólo em 10: vai de 0^\circ (em 1) até -90^\circ (em 100).
  • Soma-se as contribuições para obter curva total. Usar os valores exatos calculados no Passo 7 em pontos-chave para ancorar a curva e desenhar as transições lineares entre \omega_c/10 e 10\omega_c.

Passo 9

Resumo prático final para desenhar os diagramas de Bode (tudo o que precisa para traçar):
Magnitude:
  • Ganho DC: |H(0)|=0,25\Rightarrow -12,04\\ \mathrm{dB}.
  • Frequências de canto: \omega=1,\\\ 2,\\\ 10\\ \mathrm{rad/s}.
  • Inclinações assintóticas:
    • \omega<1: 0\\ \mathrm{dB/dec}.
    • 1<\omega<2: +20\\ \mathrm{dB/dec}.
    • 2<\omega<10: 0\\ \mathrm{dB/dec}.
    • \omega>10: -20\\ \mathrm{dB/dec}.
  • Pontos exatos úteis (magnitude em dB):
    • \omega=0: -12,04\\ \mathrm{dB}.
    • \omega=1: -10,03\\ \mathrm{dB}.
    • \omega=2: -8,24\\ \mathrm{dB}.
    • \omega=10: -9,16\\ \mathrm{dB}.
    • \omega=100: -26,06\\ \mathrm{dB}.
Fase:
  • Fórmula exata: \angle H(j\omega)=\arctan(\omega/1)-\arctan(\omega/2)-\arctan(\omega/10),(resultado em radianos; multiplicar por 180/\pi para graus).
  • Pontos exatos úteis (em graus):
    • \omega=0{,}1:\\\ 2{,}28^\circ.
    • \omega=1:\\\ 12{,}72^\circ.
    • \omega=2:\\\ 7{,}13^\circ.
    • \omega=10:\\\ -39{,}40^\circ.
    • \omega=100:\\\ -83{,}71^\circ.
  • Limites: \omega\to0\Rightarrow0^\circ, \omega\to\infty\Rightarrow-90^\circ.
  • Regra prática para esboço: aplicar as transições de fase entre \omega_c/10 e 10\omega_c para cada canto e somar as contribuições.

Resposta

Magnitude: H(0)=0,25\Rightarrow -12,04\\ \mathrm{dB}. Cantos em \omega=1,\\\ 2,\\\ 10\\ \mathrm{rad/s}. Inclinações assintóticas: \omega<1\Rightarrow0\\ \mathrm{dB/dec}; 1<\omega<2\Rightarrow+20\\ \mathrm{dB/dec}; 2<\omega<10\Rightarrow0\\ \mathrm{dB/dec}; \omega>10\Rightarrow-20\\ \mathrm{dB/dec}. Pontos de magnitude (exatos): \omega=1:\\\ -10,03\\ \mathrm{dB}, \omega=2:\\\ -8,24\\ \mathrm{dB}, \omega=10:\\\ -9,16\\ \mathrm{dB}, \omega=100:\\\ -26,06\\ \mathrm{dB}.
Fase: \displaystyle \angle H(j\omega)=\arctan(\omega/1)-\arctan(\omega/2)-\arctan(\omega/10). Pontos de fase (graus): \omega=0{,}1:\\\ 2{,}28^\circ, \omega=1:\\\ 12{,}72^\circ, \omega=2:\\\ 7{,}13^\circ, \omega=10:\\\ -39{,}40^\circ, \omega=100:\\\ -83{,}71^\circ. Limites: \omega\to0\Rightarrow0^\circ, \omega\to\infty\Rightarrow-90^\circ. Use essas informações para traçar os diagramas de Bode assintótico e a curva refinada (ancorando as retas assintóticas pelos pontos exatos dados).

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