Construir os diagramas de Bode para as seguintes funções de transferência: H(s)=\frac{5(s+1)}{(s+2)(s+10)}
Passo 1
Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede, sem começar a resolver ainda.
Enunciado: construir os diagramas de Bode (magnitude e fase) para a função de transferência
H(s)=\frac{5(s+1)}{(s+2)(s+10)}.
O que é pedido: obter os diagramas de Bode (linha assintótica e informações numéricas úteis para desenhar com precisão razoável).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Zero real em s=-1 → frequência de canto \omega_z=1\\ \text{rad/s}.
Pólo real em s=-2 → frequência de canto \omega_{p1}=2\\ \text{rad/s}.
Pólo real em s=-10 → frequência de canto \omega_{p2}=10\\ \text{rad/s}.
Ganho numérico multiplicativo 5.
Resumo do que vamos obter: ganho em \omega=0 (ganho em CC), frequências de canto, leis de inclinação (dB/dec), valores de magnitude em dB em pontos-chave e expressão/valores da fase para pontos-chave. A partir disso dá para traçar os diagramas de Bode assintóticos e aproximados.
Passo 2
Colocar a função numa forma conveniente para a análise de Bode e calcular o ganho DC.
Escrevemos H(s) isolando o ganho DC multiplicativo:
Explicação curta: dividimos numeradores e denominadores por suas constantes de tempo para ter fatores da forma 1+s/\omega_c, que é a forma padrão para Bode.
Isto significa que, para \omega\ll 1\\ \mathrm{rad/s}, a magnitude em dB começa em -12,04\\ \mathrm{dB}.
Passo 3
Determinar as frequências de canto e as contribuições de inclinação (dB/dec).
Zero em \omega_z=1\\ \mathrm{rad/s}: contribui com +20\\ \mathrm{dB/dec} para a inclinação após \omega=1.
Pólo em \omega_{p1}=2\\ \mathrm{rad/s}: contribui com -20\\ \mathrm{dB/dec} para a inclinação após \omega=2.
Pólo em \omega_{p2}=10\\ \mathrm{rad/s}: contribui com -20\\ \mathrm{dB/dec} para a inclinação após \omega=10.
Começando em baixas frequências (\omega\ll1) a inclinação total é 0\\ \mathrm{dB/dec} (constante) porque os fatores 1+s/\omega estão próximos de 1. Ao atravessar cada canto a inclinação muda somando as contribuições acima. Resumindo as faixas:
Isto é útil porque cada termo |1+j\omega/\omega_c|=\sqrt{1+(\omega/\omega_c)^2} e podemos calcular numericamente pontos-chave sem ambiguidade.
Passo 5
Calcular valores numéricos da magnitude (exata) em alguns pontos-chave para ajudar a traçar o diagrama com precisão: \omega=0{,}1,\\\ 1,\\\ 2,\\\ 10,\\\ 100 (rad/s). Utilizo |1+jx|=\sqrt{1+x^2}.
Comentário prático: esses pontos mostram o comportamento real (não só os segmentos assintóticos). Observe que entre 1 e 2 a magnitude sobe (de -10{,}03 para -8{,}24\\ \mathrm{dB}), depois fica praticamente plana até perto de 10, e cai para baixo de -20\\ \mathrm{dB/dec} para frequências bem altas.
Passo 6
Construir o diagrama de magnitude assintótico (regra prática para desenhar):
Partir de -12{,}04\\ \mathrm{dB} para \omega<1 com linha horizontal.
Em \omega=1 começa a inclinação +20\\ \mathrm{dB/dec}: traçar a reta que sobe com essa inclinação a partir do ponto de passagem em \omega=1. Para continuidade, usar o valor exato em \omega=1 (ou o valor inicial -12{,}04\\ \mathrm{dB} ajustado). É mais preciso colar a reta que tem o valor exato -10{,}03\\ \mathrm{dB} em \omega=1.
Em \omega=2 aplicar a correção de inclinação: a partir de \omega=2 a inclinação passa a 0\\ \mathrm{dB/dec}. Traçar a reta horizontal a partir de -8{,}24\\ \mathrm{dB} em \omega=2.
Em \omega=10 a inclinação passa para -20\\ \mathrm{dB/dec}: traçar a reta com essa inclinação a partir do ponto em \omega=10 (valor aproximado -9{,}16\\ \mathrm{dB}).
Isto produz o esqueleto assintótico do diagrama de magnitude. Usar os pontos exatos calculados no Passo 5 para ancorar as linhas dá uma boa aproximação gráfica.
Passo 7
Expressão e construção do diagrama de fase. Fórmula exata e valores em pontos-chave.
A fase de H(j\omega) é a soma das fases dos fatores:
Como traçar a fase assintótica (regra prática de Bode) — construção por partes:
Cada zero em \omega_z introduz uma variação de fase de +90^\circ que se inicia aproximadamente em \omega_z/10, atinge +45^\circ em \omega_z e termina em +90^\circ em 10\omega_z. A variação é aproximadamente linear (em graus) em escala logaritmica de \omega.
Cada pólo em \omega_p introduz uma variação de fase de -90^\circ entre \omega_p/10 e 10\omega_p, com -45^\circ em \omega_p.
No nosso caso:
Zero em 1: vai de 0^\circ (em 0{,}1) até +90^\circ (em 10).
Pólo em 2: vai de 0^\circ (em 0{,}2) até -90^\circ (em 20).
Pólo em 10: vai de 0^\circ (em 1) até -90^\circ (em 100).
Soma-se as contribuições para obter curva total. Usar os valores exatos calculados no Passo 7 em pontos-chave para ancorar a curva e desenhar as transições lineares entre \omega_c/10 e 10\omega_c.
Passo 9
Resumo prático final para desenhar os diagramas de Bode (tudo o que precisa para traçar):
Fase: \displaystyle \angle H(j\omega)=\arctan(\omega/1)-\arctan(\omega/2)-\arctan(\omega/10). Pontos de fase (graus): \omega=0{,}1:\\\ 2{,}28^\circ, \omega=1:\\\ 12{,}72^\circ, \omega=2:\\\ 7{,}13^\circ, \omega=10:\\\ -39{,}40^\circ, \omega=100:\\\ -83{,}71^\circ. Limites: \omega\to0\Rightarrow0^\circ, \omega\to\infty\Rightarrow-90^\circ. Use essas informações para traçar os diagramas de Bode assintótico e a curva refinada (ancorando as retas assintóticas pelos pontos exatos dados).