Construir os diagramas de Bode para as seguintes funções de transferência: H(s)=\frac{80}{s(s+50)(s+100)}
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência
H(s)=\frac{80}{s(s+50)(s+100)}
e pede para construir os diagramas de Bode (magnitude e fase).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Há um pólo em s=0 (integrador).
Há dois polos reais em s=-50 e s=-100.
Não há zeros.
O que se pede, de maneira prática: desenhar o diagrama de magnitude (em dB, vs \log_{10}\omega) e o diagrama de fase (em graus, vs \log_{10}\omega), mostrando as assíntotas, frequências de canto, inclinações e valores úteis.
Passo 2
Colocar H(s) numa forma normalizada que facilita o Bode. Factorizando os termos (s+50) e (s+100):
Esta forma mostra claramente os fatores padrão para o Bode: ganho estático K=0,016, um integrador \frac{1}{s} e dois polos com constantes de tempo 50 e 100.
Passo 3
Fórmula para a magnitude e para a fase (valores exatos, que usaremos para calcular pontos numéricos):
Regra prática para desenhar: a partir de -35,92\\ \text{dB} em \omega=1, traçar reta com inclinação -20\\ \text{dB/dec} até \omega=50 ; a partir de 50 acrescentar mais -20\\ \text{dB/dec}; a partir de 100 acrescentar mais -20\\ \text{dB/dec}.
Passo 5
Valores numéricos úteis (magnitude exata em dB e fase exata em graus) em pontos-chave — eu vou calcular passo a passo para cada ponto:
Primeiro, preparamos números de logaritmo que usaremos:
Observação: os valores acima permitem traçar pontos exatos além das assíntotas; as assíntotas simplificadas dão uma boa aproximação gráfica.
Passo 6
Construção das assíntotas (fase) e regra prática para o esboço:
A fase total tende para -270^{\circ} quando \omega\to\infty (soma de -90^{\circ} do integrador e -90^{\circ} de cada polo).
Cada pólo de primeira ordem causa uma transição de 0^{\circ} para -90^{\circ} distribuída aproximadamente entre 0,1\omega_{c} e 10\omega_{c}. Assim:
Polo em 50: transição entre 5 e 500 rad/s (queda total -90^{\circ}).
Polo em 100: transição entre 10 e 1000 rad/s (queda total -90^{\circ}).
Aproximação em linha reta da fase: cada polo adiciona aproximadamente -45^{\circ} por década dentro do intervalo de duas décadas centrado em \omega_{c}. Soma-se isso ao -90^{\circ} do integrador (que é praticamente constante).
Passo 7
Como desenhar, passo-a-passo prático (para fazer na prova à mão):
A partir daí desenhe uma reta inclinada -20\\ \text{dB/dec} até \omega=50.
A partir de \omega=50 mude a inclinação para -40\\ \text{dB/dec}.
A partir de \omega=100 mude a inclinação para -60\\ \text{dB/dec}.
Use os pontos numéricos calculados em \omega=5,50,100 para ajustar a curva real perto das esquinas (no ponto de esquina a curva real fica cerca de -3\\ \text{dB} abaixo da aproximação simples da soma de retas – já fiz esse ajuste nos valores exatos).
Fase:
Em baixas frequência a fase inicia perto de -90^{\circ}.
Entre 5 e 500 a fase cai progressivamente mais \approx -90^{\circ} (devido ao pólo em 50).
Entre 10 e 1000 cai mais \approx -90^{\circ} (devido ao pólo em 100).
Use os valores exatos em \omega=5,50,100,500 para posicionar a curva com fidelidade.
Se quiser desenhar a curva exata: para cada frequência \omega calcule a magnitude via a fórmula do Passo 3 e a fase via a fórmula do Passo 3; marque e ligue suavemente.
Passo 8
Resumo didático e dicas finais (para a prova):
Identifique polos e zeros, normalize em fatores (1+s/\omega_c) e extraia o ganho constante K.
Converta K para dB: 20\log_{10}K é o deslocamento vertical da reta-base.
Contabilize inclinações: integrador -20\\ \text{dB/dec}, cada pólo adicional -20\\ \text{dB/dec} extra a partir da sua \omega_c.
Para fase, somar contribuições: integrador -90^{\circ} + cada pólo -\arctan(\omega/\omega_c). Para esboço rápido usar transição linear entre 0,1\omega_c e 10\omega_c.
Marque pontos exatos (os que calculei) para melhorar a precisão do esboço.
Resposta
Diagrama de Bode (magnitude): assíntotas com intercepto em \omega=1 de 20\log_{10}(0,016)\approx-35,92\\ \text{dB}; inclinações -20\\ \text{dB/dec} para \omega<50, -40\\ \text{dB/dec} para 50<\omega<100 e -60\\ \text{dB/dec} para \omega>100; frequências de canto \omega_{c1}=50\\ \text{rad/s}, \omega_{c2}=100\\ \text{rad/s}. Valores calculados úteis: |H(j1)|_{\text{dB}}\approx-35,92\\ \text{dB}, |H(j5)|_{\text{dB}}\approx-49,96\\ \text{dB}, |H(j50)|_{\text{dB}}\approx-73,86\\ \text{dB}, |H(j100)|_{\text{dB}}\approx-85,92\\ \text{dB}.
Diagrama de Bode (fase): \varphi(\omega)=-90^{\circ}-\arctan(\tfrac{\omega}{50})-\arctan(\tfrac{\omega}{100}); limites e pontos: \varphi(1)\approx-91,7^{\circ}, \varphi(5)\approx-98,6^{\circ}, \varphi(50)\approx-161,6^{\circ}, \varphi(100)\approx-198,4^{\circ}, \varphi(500)\approx-253,0^{\circ}; \varphi(\omega)\to-270^{\circ} quando \omega\to\infty.