Construir os diagramas de Bode para as seguintes funções de transferência:
H(s)=\frac{80}{s(s+50)(s+100)}

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência
H(s)=\frac{80}{s(s+50)(s+100)}
e pede para construir os diagramas de Bode (magnitude e fase).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Há um pólo em s=0 (integrador).
  • Há dois polos reais em s=-50 e s=-100.
  • Não há zeros.
    O que se pede, de maneira prática: desenhar o diagrama de magnitude (em dB, vs \log_{10}\omega) e o diagrama de fase (em graus, vs \log_{10}\omega), mostrando as assíntotas, frequências de canto, inclinações e valores úteis.

Passo 2

Colocar H(s) numa forma normalizada que facilita o Bode. Factorizando os termos (s+50) e (s+100):
s+50 = 50\big(1+\frac{s}{50}\big),\qquad s+100 = 100\big(1+\frac{s}{100}\big).
Então
s(s+50)(s+100)=50\cdot100\cdot s\big(1+\frac{s}{50}\big)\big(1+\frac{s}{100}\big)=5000\,s\big(1+\frac{s}{50}\big)\big(1+\frac{s}{100}\big).
Logo
H(s)=\frac{80}{5000}\cdot\frac{1}{s\big(1+\frac{s}{50}\big)\big(1+\frac{s}{100}\big)}=\underbrace{0,016}_{K}\cdot\frac{1}{s\big(1+\frac{s}{50}\big)\big(1+\frac{s}{100}\big)}.
Esta forma mostra claramente os fatores padrão para o Bode: ganho estático K=0,016, um integrador \frac{1}{s} e dois polos com constantes de tempo 50 e 100.

Passo 3

Fórmula para a magnitude e para a fase (valores exatos, que usaremos para calcular pontos numéricos):
  • Magnitude (em dB):
20\log_{10}|H(j\omega)|=20\log_{10}(0,016)-20\log_{10}(\omega)-10\log_{10}\!\big(1+(\tfrac{\omega}{50})^{2}\big)-10\log_{10}\!\big(1+(\tfrac{\omega}{100})^{2}\big).
Explicação: 20\log_{10}|1+jx|=10\log_{10}(1+x^{2}), por isso os termos com -10\log_{10}.
  • Fase (em graus):
\varphi(\omega)=-90^{\circ}-\arctan\!\big(\tfrac{\omega}{50}\big)-\arctan\!\big(\tfrac{\omega}{100}\big).
Explicação: integrador dá -90^{\circ} (porque 1/(j\omega) tem fase -90^{\circ}); cada polo de primeira ordem em s=-a contribui com -\arctan(\omega/a).
Cálculo do ganho de referência:
20\log_{10}(0,016)=20\log_{10}\!\big(\tfrac{16}{1000}\big)=20(\log_{10}16-3)\approx20(1,20412-3)=-35,9176\\ \text{dB}\approx-35,92\\ \text{dB}.
Esse valor é o termo constante na expressão da magnitude em dB.

Passo 4

Construção das assíntotas (magnitude):
  • Frequências de canto (pólos): \omega_{c1}=50\\ \text{rad/s} e \omega_{c2}=100\\ \text{rad/s}.
  • Comportamento em regimes:
    • Para \omega\ll50: o único fator ativo é o integrador \Rightarrow inclinação -20\\ \text{dB/dec}.
    • Para 50\lesssim\omega\lesssim100: soma do integrador e do primeiro pólo \Rightarrow inclinação aprox. -40\\ \text{dB/dec}.
    • Para \omega\gg100: integrador + dois polos \Rightarrow inclinação aprox. -60\\ \text{dB/dec}.
  • Intercepto da assíntota baixa (em \omega=1\\ \text{rad/s}) é:
20\log_{10}|H(j1)|\approx-35,92\\ \text{dB} \quad(\text{pois }-20\log_{10}(1)=0).
Regra prática para desenhar: a partir de -35,92\\ \text{dB} em \omega=1, traçar reta com inclinação -20\\ \text{dB/dec} até \omega=50 ; a partir de 50 acrescentar mais -20\\ \text{dB/dec}; a partir de 100 acrescentar mais -20\\ \text{dB/dec}.

Passo 5

Valores numéricos úteis (magnitude exata em dB e fase exata em graus) em pontos-chave — eu vou calcular passo a passo para cada ponto:
Primeiro, preparamos números de logaritmo que usaremos:
20\log_{10}(50)=20\cdot1,69897\approx33,979\\ \text{dB},\qquad 20\log_{10}(100)=40\\ \text{dB}.
Agora os pontos (usar a fórmula do Passo 3):
  1. Para \omega=1:
20\log_{10}|H(j1)|\approx-35,9176-20\log_{10}(1)-10\log_{10}(1+(0,02)^{2})-10\log_{10}(1+(0,01)^{2})\approx-35,92\\ \text{dB}.
Fase:
\varphi(1)=-90^{\circ}-\arctan(0,02)-\arctan(0,01)\approx-90^{\circ}-1,145^{\circ}-0,573^{\circ}\approx-91,72^{\circ}.
  1. Para \omega=5 (início da região de transição do pólo em 50, já que 0,1\omega_{c1}=5):
  • Magnitude:
-20\log_{10}(5)= -13,979\\ \text{dB}.
20\log_{10}|H(j5)|\approx-35,9176-13,979-10\log_{10}(1+0,1^{2})-10\log_{10}(1+0,05^{2}) \approx-49,96\\ \text{dB}.
  • Fase:
\varphi(5)=-90^{\circ}-\arctan(0,1)-\arctan(0,05)\approx-90^{\circ}-5,71^{\circ}-2,86^{\circ}\approx-98,57^{\circ}.
  1. Para \omega=50 (primeira frequência de canto):
  • Magnitude (cálculo exato):
20\log_{10}|H(j50)|\approx-35,9176-20\log_{10}(50)-10\log_{10}(1+1^{2})-10\log_{10}(1+0,5^{2}).
Substituindo números:
20\log_{10}|H(j50)|\approx-35,9176-33,979-10\log_{10}(2)-10\log_{10}(1,25).
10\log_{10}(2)\approx3,0103,\qquad 10\log_{10}(1,25)\approx0,9576.
\Rightarrow 20\log_{10}|H(j50)|\approx-35,9176-33,979-3,0103-0,9576\approx-73,86\\ \text{dB}.
  • Fase:
\varphi(50)=-90^{\circ}-\arctan(1)-\arctan(0,5)=-90^{\circ}-45^{\circ}-26,565^{\circ}\approx-161,565^{\circ}.
  1. Para \omega=100 (segunda frequência de canto):
  • Magnitude:
20\log_{10}|H(j100)|\approx-35,9176-40-10\log_{10}(1+2^{2})-10\log_{10}(1+1^{2}).
10\log_{10}(1+4)=10\log_{10}(5)\approx6,9897,\qquad 10\log_{10}(2)\approx3,0103.
\Rightarrow 20\log_{10}|H(j100)|\approx-35,9176-40-6,9897-3,0103\approx-85,9176\\ \text{dB}.
  • Fase:
\varphi(100)=-90^{\circ}-\arctan(2)-\arctan(1)\approx-90^{\circ}-63,435^{\circ}-45^{\circ}\approx-198,435^{\circ}.
  1. Para \omega=500 (acima de 10\cdot\omega_{c1}=500, região onde já atuam os dois polos fortemente):
  • Magnitude (apenas para referência de decaimento rápido):
20\log_{10}|H(j500)|\approx-124,10\\ \text{dB}\\ (\text{valor aproximado, ver passo de cálculo no corpo}).á
  • Fase:
\varphi(500)=-90^{\circ}-\arctan(10)-\arctan(5)\approx-90^{\circ}-84,29^{\circ}-78,69^{\circ}\approx-252,98^{\circ}.
Observação: os valores acima permitem traçar pontos exatos além das assíntotas; as assíntotas simplificadas dão uma boa aproximação gráfica.

Passo 6

Construção das assíntotas (fase) e regra prática para o esboço:
  • A fase total tende para -270^{\circ} quando \omega\to\infty (soma de -90^{\circ} do integrador e -90^{\circ} de cada polo).
  • Cada pólo de primeira ordem causa uma transição de 0^{\circ} para -90^{\circ} distribuída aproximadamente entre 0,1\omega_{c} e 10\omega_{c}. Assim:
    • Polo em 50: transição entre 5 e 500 rad/s (queda total -90^{\circ}).
    • Polo em 100: transição entre 10 e 1000 rad/s (queda total -90^{\circ}).
  • Aproximação em linha reta da fase: cada polo adiciona aproximadamente -45^{\circ} por década dentro do intervalo de duas décadas centrado em \omega_{c}. Soma-se isso ao -90^{\circ} do integrador (que é praticamente constante).

Passo 7

Como desenhar, passo-a-passo prático (para fazer na prova à mão):
  1. No eixo horizontal (log \omega) marque \omega=1,\\\ 5,\\\ 10,\\\ 50,\\\ 100,\\\ 500,\\\ 1000 (pelo menos).
  2. Magnitude:
    • Em \omega=1 marque -35,92\\ \text{dB}.
    • A partir daí desenhe uma reta inclinada -20\\ \text{dB/dec} até \omega=50.
    • A partir de \omega=50 mude a inclinação para -40\\ \text{dB/dec}.
    • A partir de \omega=100 mude a inclinação para -60\\ \text{dB/dec}.
    • Use os pontos numéricos calculados em \omega=5,50,100 para ajustar a curva real perto das esquinas (no ponto de esquina a curva real fica cerca de -3\\ \text{dB} abaixo da aproximação simples da soma de retas – já fiz esse ajuste nos valores exatos).
  3. Fase:
    • Em baixas frequência a fase inicia perto de -90^{\circ}.
    • Entre 5 e 500 a fase cai progressivamente mais \approx -90^{\circ} (devido ao pólo em 50).
    • Entre 10 e 1000 cai mais \approx -90^{\circ} (devido ao pólo em 100).
    • Use os valores exatos em \omega=5,50,100,500 para posicionar a curva com fidelidade.
  4. Se quiser desenhar a curva exata: para cada frequência \omega calcule a magnitude via a fórmula do Passo 3 e a fase via a fórmula do Passo 3; marque e ligue suavemente.

Passo 8

Resumo didático e dicas finais (para a prova):
  • Identifique polos e zeros, normalize em fatores (1+s/\omega_c) e extraia o ganho constante K.
  • Converta K para dB: 20\log_{10}K é o deslocamento vertical da reta-base.
  • Contabilize inclinações: integrador -20\\ \text{dB/dec}, cada pólo adicional -20\\ \text{dB/dec} extra a partir da sua \omega_c.
  • Para fase, somar contribuições: integrador -90^{\circ} + cada pólo -\arctan(\omega/\omega_c). Para esboço rápido usar transição linear entre 0,1\omega_c e 10\omega_c.
  • Marque pontos exatos (os que calculei) para melhorar a precisão do esboço.

Resposta

Diagrama de Bode (magnitude): assíntotas com intercepto em \omega=1 de 20\log_{10}(0,016)\approx-35,92\\ \text{dB}; inclinações -20\\ \text{dB/dec} para \omega<50, -40\\ \text{dB/dec} para 50<\omega<100 e -60\\ \text{dB/dec} para \omega>100; frequências de canto \omega_{c1}=50\\ \text{rad/s}, \omega_{c2}=100\\ \text{rad/s}. Valores calculados úteis: |H(j1)|_{\text{dB}}\approx-35,92\\ \text{dB}, |H(j5)|_{\text{dB}}\approx-49,96\\ \text{dB}, |H(j50)|_{\text{dB}}\approx-73,86\\ \text{dB}, |H(j100)|_{\text{dB}}\approx-85,92\\ \text{dB}.
Diagrama de Bode (fase): \varphi(\omega)=-90^{\circ}-\arctan(\tfrac{\omega}{50})-\arctan(\tfrac{\omega}{100}); limites e pontos: \varphi(1)\approx-91,7^{\circ}, \varphi(5)\approx-98,6^{\circ}, \varphi(50)\approx-161,6^{\circ}, \varphi(100)\approx-198,4^{\circ}, \varphi(500)\approx-253,0^{\circ}; \varphi(\omega)\to-270^{\circ} quando \omega\to\infty.

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