Construir os diagramas de Bode para as seguintes funções de transferência:
H(s)=\frac{4(s+1)}{(s+4)(s+2)}

Passo 1

O enunciado pede: construir os diagramas de Bode (módulo e fase) para a função de transferência
H(s)=\frac{4(s+1)}{(s+4)(s+2)}.
Informações extraídas do enunciado:
  • Zero em s=-1 (frequência de quebra \omega_z=1 rad/s).
  • Polos em s=-2 e s=-4 (frequências de quebra \omega_{p1}=2 rad/s e \omega_{p2}=4 rad/s).
  • Ganho numérico multiplicativo 4.
  • O que se pede: desenhar (ou descrever para desenhar) os diagramas de Bode: magnitude (em dB versus \log\omega) e fase (em graus versus \log\omega).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação passo a passo, sem pular etapas).
  • Substituímos s=j\omega para obter frequência: H(j\omega)=\frac{4(1+j\omega)}{(4+j\omega)(2+j\omega)}.
  • A magnitude absoluta é |H(j\omega)|=\frac{4\sqrt{1+\omega^{2}}}{\sqrt{16+\omega^{2}}\;\sqrt{4+\omega^{2}}}.Em dB: 20\log_{10}|H(j\omega)|=20\log_{10}4+10\log_{10}(1+\omega^{2})-10\log_{10}(4+\omega^{2})-10\log_{10}(16+\omega^{2}).Explicando: \sqrt{1+\omega^2} vem de |1+j\omega|; \sqrt{4+\omega^2} vem de |2+j\omega|; \sqrt{16+\omega^2} vem de |4+j\omega|.
  • A fase total é a soma (ou diferença) das fases das parcelas: \angle H(j\omega)=\underbrace{\angle(1+j\omega)}_{=\arctan(\omega)}-\underbrace{\angle(2+j\omega)}_{=\arctan(\omega/2)}-\underbrace{\angle(4+j\omega)}_{=\arctan(\omega/4)}.Portanto \angle H(j\omega)=\arctan(\omega)-\arctan\!\left(\frac{\omega}{2}\right)-\arctan\!\left(\frac{\omega}{4}\right),com \angle em radianos; se preferir graus, converta cada arctan para graus (usaremos graus adiante).
  • Regras aproximadas de Bode (primeira ordem) que vamos usar para esboçar assimptóticos:
    • Um zero em \omega=\omega_c acrescenta \mathbf{+20} dB/década para \omega>\omega_c e fase que vai de 0^\circ a +90^\circ (aprox. entre \omega_c/10 e 10\omega_c, com +45^\circ em \omega=\omega_c).
    • Um polo em \omega=\omega_c acrescenta \mathbf{-20} dB/década para \omega>\omega_c e fase que vai de 0^\circ a -90^\circ (aprox. entre \omega_c/10 e 10\omega_c, com -45^\circ em \omega=\omega_c).
    • Para fatores multiplicativos constantes (como 4), contribuem apenas em magnitude (em dB: 20\log_{10}4\approx 12{,}04 dB) e não em fase.

Passo 3

Ganho DC (avaliar \omega=0) — ponto de partida do diagrama de magnitude:
  • Calcular H(0)=\frac{4(1+0)}{(4+0)(2+0)}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}=0{,}5.
  • Em dB: 20\log_{10}(0{,}5)=20\cdot(-0{,}30103)\approx -6{,}0206\\ \text{dB}.
Interpretação prática: para \omega muito pequeno (abaixo do primeiro canto \omega=1), a magnitude começa em -6{,}02 dB.

Passo 4

Identificar frequências de quebra e sequência de inclinações (somas algébricas das contribuições):
  • Quebras: \omega=1 (zero), \omega=2 (polo), \omega=4 (polo).
  • Inclinação inicial (para \omega<1): nenhum polo/zero ativo → inclinação 0 dB/década.
  • Ao passar \omega=1: soma ganha +20 dB/década (por causa do zero).
  • Ao passar \omega=2: soma ganha -20 dB/década (polo), então a inclinação fica +20-20=0 dB/década (plana entre 2 e 4).
  • Ao passar \omega=4: soma ganha mais -20 dB/década, resultando em inclinação total -20 dB/década para \omega>4.
  • Resumo das inclinações por banda:
    • 0<\omega<1: 0 dB/década.
    • 1<\omega<2: +20 dB/década.
    • 2<\omega<4: 0 dB/década.
    • \omega>4: -20 dB/década.

Passo 5

Construir as retas assimptóticas de magnitude (cálculo dos valores):
  • Ponto de partida: em \omega=1 a assíntota ainda vale o valor DC (porque antes de 1 a linha é plana): -6{,}02 dB.
  • Para 1\le\omega\le2 (inclinação +20 dB/déc): a assíntota é M_{\text{as}}(\omega)=-6{,}02 + 20\log_{10}\!\left(\frac{\omega}{1}\right)\\ \text{dB}.Em particular, em \omega=2: M_{\text{as}}(2)=-6{,}02+20\log_{10}2=-6{,}02+6{,}0206\approx 0{,}0\\ \text{dB}.
  • Para 2\le\omega\le4 (inclinação 0 dB/déc): a assíntota permanece em M_{\text{as}}(\omega)\approx 0 dB (constante).
  • Para \omega\ge4 (inclinação -20 dB/déc): M_{\text{as}}(\omega)=0 -20\log_{10}\!\left(\frac{\omega}{4}\right)\\ \text{dB}.Em \omega=10: M_{\text{as}}(10)=-20\log_{10}\!\left(\frac{10}{4}\right)\approx -20\cdot0{,}39794\approx -7{,}96\\ \text{dB}.

Passo 6

Calcular alguns valores exatos (para comparar com as assíntotas e facilitar o esboço):
  • Fórmula exata do módulo: |H(j\omega)|=\frac{4\sqrt{1+\omega^{2}}}{\sqrt{4+\omega^{2}}\sqrt{16+\omega^{2}}}.
  • Valores numéricos (arredondados) em pontos úteis:
    • \omega=0: |H|=0{,}5\Rightarrow 20\log_{10}|H|=-6{,}02\\ \text{dB}.
    • \omega=1: |H|\approx0{,}6135\Rightarrow 20\log_{10}|H|\approx -4{,}25\\ \text{dB}.
    • \omega=2: |H|\approx0{,}7071\Rightarrow 20\log_{10}|H|\approx -3{,}01\\ \text{dB}.
    • \omega=4: |H|\approx0{,}6517\Rightarrow 20\log_{10}|H|\approx -3{,}71\\ \text{dB}.
    • \omega=10: |H|\approx0{,}3659\Rightarrow 20\log_{10}|H|\approx -8{,}73\\ \text{dB}.
  • Observação: as assíntotas dão -6{,}02 dB em \omega=1 e 0 dB em \omega=2, enquanto os valores exatos estão próximos, mostrando o erro típico das assíntotas (o traço real é mais suave).

Passo 7

Construir o diagrama de fase (método exato e aproximação por blocos):
  • Fórmula exata (em radianos): \angle H(j\omega)=\arctan(\omega)-\arctan(\omega/2)-\arctan(\omega/4).
    Em graus: \angle H(j\omega)=[\arctan(\omega)]^\circ-[\arctan(\omega/2)]^\circ-[\arctan(\omega/4)]^\circ.
  • Valores exatos (em graus), arredondados, em pontos úteis:
    • \omega=0{,}1: \angle H\approx 1{,}4^\circ (próximo de 0^\circ).
    • \omega=1: \angle H\approx 4{,}4^\circ.
    • \omega=2: \angle H\approx -8{,}13^\circ.
    • \omega=4: \angle H\approx -32{,}47^\circ.
    • \omega=10: \angle H\approx -62{,}60^\circ.
    • \omega\to\infty: \angle H\to -90^\circ (porque +90-90-90=-90).
  • Aproximação por blocos (útil para esboço): cada canto contribui numa “faixa de duas décadas”:
    • Zero em \omega=1: fase sobe gradualmente de 0^\circ para +90^\circ entre 0{,}1 e 10 (aprox.). Contribuição aproximada: 0^\circ para \omega\le0{,}1, +45^\circ em \omega=1, +90^\circ em \omega\ge10.
    • Polo em \omega=2: fase desce 0^\circ -90^\circ entre 0{,}2 e 20, com -45^\circ em \omega=2.
    • Polo em \omega=4: fase desce 0^\circ -90^\circ entre 0{,}4 e 40, com -45^\circ em \omega=4.
    • Somando aproximado (zero positivo, polos negativos) dá o esboço: começa perto de 0^\circ, faz uma pequena subida após \omega\sim1, cruza perto de zero entre 1 e 2, depois vai ficando negativo e tende a -90^\circ.

Passo 8

Roteiro prático para desenhar (o que desenhar no papel):
  1. Eixo horizontal: escala logarítmica de \omega (por exemplo 0{,}1,\,0{,}2,\,0{,}5,\,1,\,2,\,5,\,10,\,20,\,50\ldots).
  2. Diagrama de magnitude:
    • Marque o ponto em \omega=0 (ou \omega muito pequeno) com -6{,}02 dB.
    • Desenhe uma linha horizontal até \omega=1.
    • A partir de \omega=1, desenhe a assíntota com inclinação +20 dB/década até \omega=2.
    • Em \omega=2 a assíntota ficará plana (0 dB/década) até \omega=4; ajuste para passar por aprox. 0 dB em \omega=2.
    • Após \omega=4, desenhe uma assíntota com inclinação -20 dB/década.
    • Sobreponha alguns pontos exatos calculados ( \omega=1,2,4,10) para refinar o traço real (ele será mais suave que as retas).
  3. Diagrama de fase:
    • Use a expressão exata \angle H(j\omega)=\arctan(\omega)-\arctan(\omega/2)-\arctan(\omega/4) para pontuar valores (por exemplo nos \omega citados) e ligue de forma suave.
    • Ou faça a aproximação por blocos (cada canto espalhado em duas décadas) e some as contribuições.
  4. Verifique limites:
    • Magnitude: para \omega\to0 \,20\log_{10}|H|\to-6{,}02 dB; para \omega\to\infty a inclinação final -20 dB/década.
    • Fase: para \omega\to0 \,\angle H\to 0^\circ; para \omega\to\infty \,\angle H\to -90^\circ.

Passo 9

Resumo numérico pronto para traçar (cole e use para o papel):
  • Quebras: \omega=1,\,2,\,4.
  • Ganho DC: H(0)=0{,}5\Rightarrow -6{,}02\\ \text{dB}.
  • Assíntotas (magnitude):
    • 0<\omega<1:\\ M(\omega)=-6{,}02\\ \text{dB}.
    • 1<\omega<2:\\ M(\omega)=-6{,}02+20\log_{10}(\omega/1)\\ \text{dB}.
    • 2<\omega<4:\\ M(\omega)\approx 0\\ \text{dB}.
    • \omega>4:\\ M(\omega)=-20\log_{10}(\omega/4)\\ \text{dB}.
  • Valores exatos úteis (magnitude):
    • \omega=1:\\\ -4{,}25\\ \text{dB}.
    • \omega=2:\\\ -3{,}01\\ \text{dB}.
    • \omega=4:\\\ -3{,}71\\ \text{dB}.
    • \omega=10:\\\ -8{,}73\\ \text{dB}.
  • Fase exata: \angle H(j\omega)=\arctan(\omega)-\arctan\!\left(\frac{\omega}{2}\right)-\arctan\!\left(\frac{\omega}{4}\right).Valores de referência (graus):
    • \omega=0{,}1:\\ \approx1{,}4^\circ.
    • \omega=1:\\ \approx4{,}4^\circ.
    • \omega=2:\\ \approx-8{,}13^\circ.
    • \omega=4:\\ \approx-32{,}47^\circ.
    • \omega=10:\\ \approx-62{,}6^\circ.
    • Limite alto: \omega\to\infty:\\\ -90^\circ.

Passo 10

Dicas finais e incentivo:
  • Para a prova: primeiro ache zeros/polos e ganho numérico; escreva as contribuições em dB e em fase separadamente; faça o esboço das assíntotas e depois pontue valores exatos para ajustar; pratique com esses pontos.
  • Você consegue: com os números e regras acima já dá para traçar os dois diagramas de Bode à mão com boa precisão. Boa sorte no estudo — se quiser eu faço também um passo-a-passo de desenho com coordenadas em papel quadriculado.

Resposta

Ganho DC: H(0)=0{,}5\Rightarrow -6{,}02\\ \text{dB}.
Quebras: \omega=1 (zero), \omega=2 (polo), \omega=4 (polo).
Assíntotas de magnitude:
0<\omega<1:\\\ -6{,}02\\ \text{dB};
1<\omega<2:\\\ -6{,}02+20\log_{10}(\omega/1)\\ \text{dB};
2<\omega<4:\\\ 0\\ \text{dB};
\omega>4:\\\ -20\log_{10}(\omega/4)\\ \text{dB}.
Valores exatos (módulo): \omega=1:-4{,}25\\ \text{dB},\\ \omega=2:-3{,}01\\ \text{dB},\\ \omega=4:-3{,}71\\ \text{dB},\\ \omega=10:-8{,}73\\ \text{dB}.
Fase exata: \displaystyle \angle H(j\omega)=\arctan(\omega)-\arctan\!\left(\frac{\omega}{2}\right)-\arctan\!\left(\frac{\omega}{4}\right).
Valores de fase (graus): \omega=0{,}1:\approx1{,}4^\circ,\\ \omega=1:\approx4{,}4^\circ,\\ \omega=2:\approx-8{,}13^\circ,\\ \omega=4:\approx-32{,}47^\circ,\\ \omega=10:\approx-62{,}6^\circ.
Limites: \omega\to0:\\\ 20\log_{10}|H|\to-6{,}02\\ \text{dB},\\ \angle H\to0^\circ;\\ \omega\to\infty:\\ \text{slope }-20\\ \text{dB/déc},\\ \angle H\to-90^\circ.é

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