Construir os diagramas de Bode para as seguintes funções de transferência: H(s)=\frac{4(s+1)}{(s+4)(s+2)}
Passo 1
O enunciado pede: construir os diagramas de Bode (módulo e fase) para a função de transferência
H(s)=\frac{4(s+1)}{(s+4)(s+2)}.
Informações extraídas do enunciado:
Zero em s=-1 (frequência de quebra \omega_z=1 rad/s).
Polos em s=-2 e s=-4 (frequências de quebra \omega_{p1}=2 rad/s e \omega_{p2}=4 rad/s).
Ganho numérico multiplicativo 4.
O que se pede: desenhar (ou descrever para desenhar) os diagramas de Bode: magnitude (em dB versus \log\omega) e fase (em graus versus \log\omega).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação passo a passo, sem pular etapas).
Substituímos s=j\omega para obter frequência:H(j\omega)=\frac{4(1+j\omega)}{(4+j\omega)(2+j\omega)}.
A magnitude absoluta é|H(j\omega)|=\frac{4\sqrt{1+\omega^{2}}}{\sqrt{16+\omega^{2}}\;\sqrt{4+\omega^{2}}}.Em dB:20\log_{10}|H(j\omega)|=20\log_{10}4+10\log_{10}(1+\omega^{2})-10\log_{10}(4+\omega^{2})-10\log_{10}(16+\omega^{2}).Explicando: \sqrt{1+\omega^2} vem de |1+j\omega|; \sqrt{4+\omega^2} vem de |2+j\omega|; \sqrt{16+\omega^2} vem de |4+j\omega|.
A fase total é a soma (ou diferença) das fases das parcelas:\angle H(j\omega)=\underbrace{\angle(1+j\omega)}_{=\arctan(\omega)}-\underbrace{\angle(2+j\omega)}_{=\arctan(\omega/2)}-\underbrace{\angle(4+j\omega)}_{=\arctan(\omega/4)}.Portanto\angle H(j\omega)=\arctan(\omega)-\arctan\!\left(\frac{\omega}{2}\right)-\arctan\!\left(\frac{\omega}{4}\right),com \angle em radianos; se preferir graus, converta cada arctan para graus (usaremos graus adiante).
Regras aproximadas de Bode (primeira ordem) que vamos usar para esboçar assimptóticos:
Um zero em \omega=\omega_c acrescenta \mathbf{+20} dB/década para \omega>\omega_c e fase que vai de 0^\circ a +90^\circ (aprox. entre \omega_c/10 e 10\omega_c, com +45^\circ em \omega=\omega_c).
Um polo em \omega=\omega_c acrescenta \mathbf{-20} dB/década para \omega>\omega_c e fase que vai de 0^\circ a -90^\circ (aprox. entre \omega_c/10 e 10\omega_c, com -45^\circ em \omega=\omega_c).
Para fatores multiplicativos constantes (como 4), contribuem apenas em magnitude (em dB: 20\log_{10}4\approx 12{,}04 dB) e não em fase.
Passo 3
Ganho DC (avaliar \omega=0) — ponto de partida do diagrama de magnitude:
Observação: as assíntotas dão -6{,}02 dB em \omega=1 e 0 dB em \omega=2, enquanto os valores exatos estão próximos, mostrando o erro típico das assíntotas (o traço real é mais suave).
Passo 7
Construir o diagrama de fase (método exato e aproximação por blocos):
Fórmula exata (em radianos): \angle H(j\omega)=\arctan(\omega)-\arctan(\omega/2)-\arctan(\omega/4).
Em graus:\angle H(j\omega)=[\arctan(\omega)]^\circ-[\arctan(\omega/2)]^\circ-[\arctan(\omega/4)]^\circ.
Valores exatos (em graus), arredondados, em pontos úteis:
\omega=0{,}1: \angle H\approx 1{,}4^\circ (próximo de 0^\circ).
Aproximação por blocos (útil para esboço): cada canto contribui numa “faixa de duas décadas”:
Zero em \omega=1: fase sobe gradualmente de 0^\circ para +90^\circ entre 0{,}1 e 10 (aprox.). Contribuição aproximada: 0^\circ para \omega\le0{,}1, +45^\circ em \omega=1, +90^\circ em \omega\ge10.
Polo em \omega=2: fase desce 0^\circ → -90^\circ entre 0{,}2 e 20, com -45^\circ em \omega=2.
Polo em \omega=4: fase desce 0^\circ → -90^\circ entre 0{,}4 e 40, com -45^\circ em \omega=4.
Somando aproximado (zero positivo, polos negativos) dá o esboço: começa perto de 0^\circ, faz uma pequena subida após \omega\sim1, cruza perto de zero entre 1 e 2, depois vai ficando negativo e tende a -90^\circ.
Passo 8
Roteiro prático para desenhar (o que desenhar no papel):
Eixo horizontal: escala logarítmica de \omega (por exemplo 0{,}1,\,0{,}2,\,0{,}5,\,1,\,2,\,5,\,10,\,20,\,50\ldots).
Diagrama de magnitude:
Marque o ponto em \omega=0 (ou \omega muito pequeno) com -6{,}02 dB.
Desenhe uma linha horizontal até \omega=1.
A partir de \omega=1, desenhe a assíntota com inclinação +20 dB/década até \omega=2.
Em \omega=2 a assíntota ficará plana (0 dB/década) até \omega=4; ajuste para passar por aprox. 0 dB em \omega=2.
Após \omega=4, desenhe uma assíntota com inclinação -20 dB/década.
Sobreponha alguns pontos exatos calculados (\omega=1,2,4,10) para refinar o traço real (ele será mais suave que as retas).
Diagrama de fase:
Use a expressão exata \angle H(j\omega)=\arctan(\omega)-\arctan(\omega/2)-\arctan(\omega/4) para pontuar valores (por exemplo nos \omega citados) e ligue de forma suave.
Ou faça a aproximação por blocos (cada canto espalhado em duas décadas) e some as contribuições.
Verifique limites:
Magnitude: para \omega\to0\,20\log_{10}|H|\to-6{,}02 dB; para \omega\to\infty a inclinação final -20 dB/década.
Fase: para \omega\to0\,\angle H\to 0^\circ; para \omega\to\infty\,\angle H\to -90^\circ.
Passo 9
Resumo numérico pronto para traçar (cole e use para o papel):
Fase exata:\angle H(j\omega)=\arctan(\omega)-\arctan\!\left(\frac{\omega}{2}\right)-\arctan\!\left(\frac{\omega}{4}\right).Valores de referência (graus):
\omega=0{,}1:\\ \approx1{,}4^\circ.
\omega=1:\\ \approx4{,}4^\circ.
\omega=2:\\ \approx-8{,}13^\circ.
\omega=4:\\ \approx-32{,}47^\circ.
\omega=10:\\ \approx-62{,}6^\circ.
Limite alto: \omega\to\infty:\\\ -90^\circ.
Passo 10
Dicas finais e incentivo:
Para a prova: primeiro ache zeros/polos e ganho numérico; escreva as contribuições em dB e em fase separadamente; faça o esboço das assíntotas e depois pontue valores exatos para ajustar; pratique com esses pontos.
Você consegue: com os números e regras acima já dá para traçar os dois diagramas de Bode à mão com boa precisão. Boa sorte no estudo — se quiser eu faço também um passo-a-passo de desenho com coordenadas em papel quadriculado.