Construir os diagramas de Bode para as seguintes funções de transferência:
Passo 1
O enunciado pede para construir os diagramas de Bode (magnitude e fase) para a função de transferência
Informações dadas que vou usar (sem resolver ainda):
- A função de transferência é totalmente fatorada: numerador com um zero em
; denominador com polos em e . - O que se pede: diagrama de magnitude (em dB vs
log) e diagrama de fase (em graus vs log). - Vou usar a substituição
e as fórmulas padrões para primeiro-ordem (zero/polo) para traçar assíntotas e também calcular valores exatos em frequências-chave para ajustar o desenho.
Passo 2
Princípios básicos que vou aplicar (explicando passo a passo):
- Para obter a resposta em frequência, substituir
. - A magnitude é
e em dB é
- A fase é o ângulo (argumento) de
, em graus:
- Para um fator de primeira ordem
: - a contribuição em magnitude é nula (0 dB) para
e cresce com +20 dB/década para (se for zero). Para um polo, o comportamento é o oposto: plano em 0 dB para e decai com -20 dB/década para . - a contribuição em fase transita aproximadamente de
para (zero) ou para (polo) numa faixa , com inclinação aproximadamente por década no trecho de transição.
- a contribuição em magnitude é nula (0 dB) para
- Aqui os polos/zero relevantes (frequências de canto) são
(em rad/s).
Passo 3
Escrever a expressão de magnitude e fase e calcular o ganho em DC (ponto de partida):
- Substituindo
temos a magnitude exata
- A fase exata (em radianos) é
e em graus multiplica-se por
.
- Ganho em DC (
):
Em dB:
Essa é a base (valor em baixas frequências antes de qualquer canto).
Passo 4
Identificação dos pólos/zero e regra de montagem das assíntotas (magnitude):
- Zero em
(contribui com +20 dB/década para ). - Polo em
(contribui com -20 dB/década para ). - Polo em
(contribui com -20 dB/década para ). - Montagem das inclinações por faixa de frequência:
-
: nenhuma contribuição de slope => inclinação total (reta horizontal em ). -
: zero ativo => inclinação . -
: zero e um polo ativos => inclinação (reta praticamente horizontal). -
: zero e dois polos ativos => inclinação .
-
Passo 5
Valores das assíntotas em frequências de interesse (cálculo rápido):
- Assíntota partindo de
(para ). - Valor assintótico previsto em
(após rampa +20 dB/déc entre 1 e 5): - Valor assintótico previsto para
decaindo com -20 dB/déc: por exemplo em
(Isto mostra a consistência das assíntotas.)
Passo 6
Cálculo de valores exatos em pontos-chave (úteis para “ajustar” o traço real às assíntotas). Calculei
e
nos pontos
.
Magnitudes (lineares e em dB):
Observação prática: as magnitudes exatas mostram que a assíntota sobreestima o pico entre 1 e 20 (assíntota dava ~20 dB em 5 e 20), então ao desenhar traçar a assíntota e ajustar passando pelos pontos exatos indicados.
Passo 7
Cálculo da fase em pontos-chave (usar
, em graus multiplicar por
). Valores aproximados:
-
-
-
-
-
-
- Limite em altas frequências (
): cada fator dá , então total tende a
Regra prática para assíntota de fase:
- Para o zero em
: contribui para , transição linear (aprox) de a em torno de . - Para o polo em
: contribui para , transição de a em direção a . - Para o polo em
: transição de a em direção a . - Soma-se as contribuições (zero positiva, polos negativas) para obter a assíntota da fase e então ajustar pelos valores exatos dados acima.
Passo 8
Como montar o gráfico final (instruções práticas para desenhar no papel ou em software):
- No eixo log
marque as frequências (essas ajudam a localizar as zonas de transição e ). - Desenhe a magnitude:
- reta horizontal em
para ; - a partir de
desenhe uma reta com inclinação ; - em
mude a inclinação para ; - em
mude a inclinação para . - ajuste a curva para passar próximo dos pontos exatos calculados em
(valores numéricos dados no Passo 6).
- reta horizontal em
- Desenhe a fase usando as assíntotas por soma das contribuições de cada polo/zero (transições ±90° centradas em cada
, começando a mudar em e terminando em ), e ajuste usando os valores exatos nos pontos do Passo 7. - Anote no gráfico os pontos de canto
e os valores exatos de magnitude e fase calculados para referência.
Resposta
Ganho DC:
Frequências de canto:
Inclinações assintóticas (magnitude):
Frequências de canto:
Inclinações assintóticas (magnitude):
-
(reta em ); -
; -
; -
Valores exatos úteis para plotagem (magnitude em dB; fase em graus):
Limite em altas frequências:
decai com
e
.
Com esses dados e as regras de assíntota acima, é possível traçar os diagramas de Bode (magnitude e fase) precisos: desenhe as assíntotas, marque os pontos exatos listados e trace a curva real aproximando-se desses pontos. Boa — você já tem tudo para desenhar o Bode e entender o porquê de cada característica.