Construir os diagramas de Bode para as seguintes funções de transferência:
H(s)=\frac{200(s+1)}{(s+5)(s+20)}

Passo 1

O enunciado pede para construir os diagramas de Bode (magnitude e fase) para a função de transferência
H(s)=\frac{200(s+1)}{(s+5)(s+20)}.
Informações dadas que vou usar (sem resolver ainda):
  • A função de transferência é totalmente fatorada: numerador com um zero em s=-1; denominador com polos em s=-5 e s=-20.
  • O que se pede: diagrama de magnitude (em dB vs \omega log) e diagrama de fase (em graus vs \omega log).
  • Vou usar a substituição s=j\omega e as fórmulas padrões para primeiro-ordem (zero/polo) para traçar assíntotas e também calcular valores exatos em frequências-chave para ajustar o desenho.

Passo 2

Princípios básicos que vou aplicar (explicando passo a passo):
  • Para obter a resposta em frequência, substituir s=j\omega.
  • A magnitude é |H(j\omega)| e em dB é
20\log_{10}|H(j\omega)|.
  • A fase é o ângulo (argumento) de H(j\omega), em graus:
\varphi(\omega)=\angle H(j\omega).
  • Para um fator de primeira ordem (1+j\omega/\omega_c):
    • a contribuição em magnitude é nula (0 dB) para \omega\ll\omega_c e cresce com +20 dB/década para \omega\gg\omega_c (se for zero). Para um polo, o comportamento é o oposto: plano em 0 dB para \omega\ll\omega_c e decai com -20 dB/década para \omega\gg\omega_c.
    • a contribuição em fase transita aproximadamente de 0^\circ para +90^\circ (zero) ou para -90^\circ (polo) numa faixa [\omega_c/10,\;10\omega_c], com inclinação aproximadamente \pm 45^\circ por década no trecho de transição.
  • Aqui os polos/zero relevantes (frequências de canto) são \omega=1,\;5,\;20 (em rad/s).

Passo 3

Escrever a expressão de magnitude e fase e calcular o ganho em DC (ponto de partida):
  • Substituindo s=j\omega temos a magnitude exata
|H(j\omega)|=\frac{200\sqrt{1+\omega^2}}{\sqrt{25+\omega^2}\,\sqrt{400+\omega^2}}.
  • A fase exata (em radianos) é
\varphi(\omega)=\arctan(\omega/1)-\arctan(\omega/5)-\arctan(\omega/20),
e em graus multiplica-se por 180/\pi.
  • Ganho em DC ( \omega=0):
H(0)=\frac{200(0+1)}{(0+5)(0+20)}=\frac{200}{100}=2.
Em dB:
20\log_{10}(2)\approx 6,02\\ \text{dB}.
Essa é a base (valor em baixas frequências antes de qualquer canto).

Passo 4

Identificação dos pólos/zero e regra de montagem das assíntotas (magnitude):
  • Zero em \omega_z=1 (contribui com +20 dB/década para \omega>1).
  • Polo em \omega_{p1}=5 (contribui com -20 dB/década para \omega>5).
  • Polo em \omega_{p2}=20 (contribui com -20 dB/década para \omega>20).
  • Montagem das inclinações por faixa de frequência:
    • \omega<1: nenhuma contribuição de slope => inclinação total 0\\ \text{dB/déc}é (reta horizontal em 6,02\\ \text{dB}).
    • 1<\omega<5: zero ativo => inclinação +20\\ \text{dB/déc}é.
    • 5<\omega<20: zero e um polo ativos => inclinação +20-20=0\\ \text{dB/déc}é (reta praticamente horizontal).
    • \omega>20: zero e dois polos ativos => inclinação +20-20-20=-20\\ \text{dB/déc}é.

Passo 5

Valores das assíntotas em frequências de interesse (cálculo rápido):
  • Assíntota partindo de 6,02\\ \text{dB} (para \omega<1).
  • Valor assintótico previsto em \omega=5 (após rampa +20 dB/déc entre 1 e 5): 6,02\\ \text{dB} + 20\log_{10}\!\left(\frac{5}{1}\right) =6,02 + 20\log_{10}(5)\approx 6,02 + 13,98 \approx 20,00\\ \text{dB}.
  • Valor assintótico previsto para \omega>20 decaindo com -20 dB/déc: por exemplo em \omega=100 20,00\\ \text{dB} - 20\log_{10}\!\left(\frac{100}{20}\right) =20,00 - 20\log_{10}(5)\approx 20,00 - 13,98 \approx 6,02\\ \text{dB}.
(Isto mostra a consistência das assíntotas.)

Passo 6

Cálculo de valores exatos em pontos-chave (úteis para “ajustar” o traço real às assíntotas). Calculei |H(j\omega)| e \varphi(\omega) nos pontos \omega=0,\,0{,}1,\,1,\,5,\,20,\,100.
Magnitudes (lineares e em dB):
  • \omega=0:\quad |H|=2 \Rightarrow 20\log_{10}(2)\approx 6,02\\ \text{dB}.
  • \omega=0{,}1:\quad |H|=\dfrac{200\sqrt{1+0{,}1^2}}{\sqrt{25+0{,}1^2}\sqrt{400+0{,}1^2}}\approx 1{,}96 \Rightarrow 5,84\\ \text{dB}.
  • \omega=1:\quad |H|\approx 2{,}772 \Rightarrow 8,84\\ \text{dB}.
  • \omega=5:\quad |H|\approx 6{,}995 \Rightarrow 16,88\\ \text{dB}.
  • \omega=20:\quad |H|\approx 6{,}873 \Rightarrow 16,74\\ \text{dB}.
  • \omega=100:\quad |H|\approx 1{,}958 \Rightarrow 5,84\\ \text{dB}.
Observação prática: as magnitudes exatas mostram que a assíntota sobreestima o pico entre 1 e 20 (assíntota dava ~20 dB em 5 e 20), então ao desenhar traçar a assíntota e ajustar passando pelos pontos exatos indicados.

Passo 7

Cálculo da fase em pontos-chave (usar \varphi(\omega)=\arctan(\omega)-\arctan(\omega/5)-\arctan(\omega/20), em graus multiplicar por 180/\pi). Valores aproximados:
  • \omega=0:\quad \varphi\approx 0^\circ.
  • \omega=0{,}1:\quad \varphi\approx 4{,}3^\circ.
  • \omega=1:\quad \varphi\approx 30{,}8^\circ.
  • \omega=5:\quad \varphi\approx 19{,}7^\circ.
  • \omega=20:\quad \varphi\approx -33{,}8^\circ.
  • \omega=100:\quad \varphi\approx -76{,}4^\circ.
  • Limite em altas frequências ( \omega\to\infty): cada fator dá \pm 90^\circ, então total tende a +90^\circ -90^\circ -90^\circ = -90^\circ.
Regra prática para assíntota de fase:
  • Para o zero em \omega=1: contribui 0^\circ para \omega<0{,}1, transição linear (aprox) de 0{,}1 a 10 em torno de +90^\circ.
  • Para o polo em \omega=5: contribui 0^\circ para \omega<0{,}5, transição de 0{,}5 a 50 em direção a -90^\circ.
  • Para o polo em \omega=20: transição de 2 a 200 em direção a -90^\circ.
  • Soma-se as contribuições (zero positiva, polos negativas) para obter a assíntota da fase e então ajustar pelos valores exatos dados acima.

Passo 8

Como montar o gráfico final (instruções práticas para desenhar no papel ou em software):
  1. No eixo log \omega marque as frequências 0{,}1,\;1,\;5,\;20,\;100,\;200 (essas ajudam a localizar as zonas de transição 0{,}1\omega_c e 10\omega_c).
  2. Desenhe a magnitude:
    • reta horizontal em 6,02\\ \text{dB} para \omega<1;
    • a partir de \omega=1 desenhe uma reta com inclinação +20\\ \text{dB/déc}é;
    • em \omega=5 mude a inclinação para 0\\ \text{dB/déc}é;
    • em \omega=20 mude a inclinação para -20\\ \text{dB/déc}é.
    • ajuste a curva para passar próximo dos pontos exatos calculados em \omega=1,5,20,100 (valores numéricos dados no Passo 6).
  3. Desenhe a fase usando as assíntotas por soma das contribuições de cada polo/zero (transições ±90° centradas em cada \omega_c, começando a mudar em \omega_c/10 e terminando em 10\omega_c), e ajuste usando os valores exatos nos pontos do Passo 7.
  4. Anote no gráfico os pontos de canto \omega=1,\;5,\;20 e os valores exatos de magnitude e fase calculados para referência.

Resposta

Ganho DC: 20\log_{10}H(0)=20\log_{10}(2)\approx 6,02\\ \text{dB}.
Frequências de canto: \omega=1,\;5,\;20\\ \text{(rad/s)}.
Inclinações assintóticas (magnitude):
  • \omega<1:\;0\\ \text{dB/déc}é (reta em 6,02\\ \text{dB});
  • 1<\omega<5:\;+20\\ \text{dB/déc}é;
  • 5<\omega<20:\;0\\ \text{dB/déc}é;
  • \omega>20:\;-20\\ \text{dB/déc}.é
Valores exatos úteis para plotagem (magnitude em dB; fase em graus):
  • \omega=0:\;|H|=2\Rightarrow 6,02\\ \text{dB},\\ \varphi\approx 0^\circ.
  • \omega=0{,}1:\;|H|\approx 1{,}96\Rightarrow 5,84\\ \text{dB},\\ \varphi\approx 4,3^\circ.
  • \omega=1:\;|H|\approx 2{,}772\Rightarrow 8,84\\ \text{dB},\\ \varphi\approx 30,8^\circ.
  • \omega=5:\;|H|\approx 6{,}995\Rightarrow 16,88\\ \text{dB},\\ \varphi\approx 19,7^\circ.
  • \omega=20:\;|H|\approx 6{,}873\Rightarrow 16,74\\ \text{dB},\\ \varphi\approx -33,8^\circ.
  • \omega=100:\;|H|\approx 1{,}958\Rightarrow 5,84\\ \text{dB},\\ \varphi\approx -76,4^\circ.
Limite em altas frequências: |H(j\omega)| decai com -20\\ \text{dB/déc}é e \varphi(\omega)\to -90^\circ.
Com esses dados e as regras de assíntota acima, é possível traçar os diagramas de Bode (magnitude e fase) precisos: desenhe as assíntotas, marque os pontos exatos listados e trace a curva real aproximando-se desses pontos. Boa — você já tem tudo para desenhar o Bode e entender o porquê de cada característica.

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