Construir os diagramas de Bode para as seguintes funções de transferência:
H(s)=\frac{4 s(s+1)}{(s+4)(s+2)}

Passo 1

O enunciado pede: construir os diagramas de Bode (magnitude e fase) para a função de transferência
H(s)=\frac{4\,s(s+1)}{(s+4)(s+2)}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Ganho constante: 4.
  • Zeros e polos (da fatoração explícita):
    • Zero na origem: s=0 (fator s).
    • Zero em s=-1 (fator s+1, frequência de esquina \omega=1).
    • Pólo em s=-2 (fator s+2, frequência de esquina \omega=2).
    • Pólo em s=-4 (fator s+4, frequência de esquina \omega=4).
  • O que é pedido: esboçar (construir) o diagrama de Bode de magnitude (em dB) e de fase (em graus), com as assíntotas e com pontos relevantes para guiar o desenho.

Passo 2

Vamos escrever a magnitude e a fase em forma apropriada para Bode e explicar as regras que usaremos.
Fórmula exata (magnitude em dB e fase em graus). Primeiro a forma complexa com s=j\omega:
H(j\omega)=4\cdot j\omega\cdot\frac{1+j\omega}{(1+j\omega/2)(1+j\omega/4)}.
Magnitude (em dB):
20\log_{10}|H(j\omega)|=20\log_{10}4+20\log_{10}\omega+20\log_{10}\bigl|1+j\omega\bigr|-20\log_{10}\bigl|1+j\omega/2\bigr|-20\log_{10}\bigl|1+j\omega/4\bigr|.
Fase (em graus):
\angle H(j\omega)=90^\circ+\arctan(\omega)-\arctan\!\bigl(\tfrac{\omega}{2}\bigr)-\arctan\!\bigl(\tfrac{\omega}{4}\bigr).
Explicação das regras de construção (bem didática):
  • Em dB, produtos viram somas: cada fator contribui somando uma curva.
  • Um zero de primeira ordem em \omega_0 contribui com uma subida de +20 dB/decade a partir de \omega_0 (na assíntota); ele adiciona uma fase que evolui de 0^\circ para +90^\circ aproximadamente entre \omega_0/10 e 10\omega_0.
  • Um pólo de primeira ordem em \omega_0 contribui com uma descida de -20 dB/decade a partir de \omega_0; sua fase evolui de 0^\circ para -90^\circ entre \omega_0/10 e 10\omega_0.
  • Um zero na origem (fator s) contribui com +20 dB/decade em magnitude a partir de \omega muito baixo e com fase fixa +90^\circ.
  • Para as assíntotas de magnitude, nos pontos de esquina (cada \omega_0) a correção típica é que a curva real difere da assíntota cerca de +3 dB (para zero/pólo de primeira ordem) no próprio ponto de esquina; isso é útil para posicionar pontos exatos.

Passo 3

Identificação das frequências de quebra (esquinas) e contribuição de cada fator para a inclinação (slope):
  • Quebras: \omega=0 (origem), \omega=1, \omega=2, \omega=4.
  • Contribuições em slope (cada zero adiciona +20 dB/dec; cada pólo subtrai 20 dB/dec):
    • Do zero na origem ( s): a partir de \omega muito baixo há +20 dB/dec.
    • Zero em \omega=1: aumenta o slope em +20 dB/dec para \omega>1.
    • Pólo em \omega=2: diminui o slope em -20 dB/dec para \omega>2.
    • Pólo em \omega=4: diminui mais -20 dB/dec para \omega>4.
  • Portanto o slope assintótico por intervalos é:
    • 0<\omega<1: slope =+20 dB/dec.
    • 1<\omega<2: slope =+40 dB/dec.
    • 2<\omega<4: slope =+20 dB/dec.
    • \omega>4: slope =0 dB/dec (ou seja, magnitude tende a um valor constante).

Passo 4

Calcular o ganho de referência e o nível assintótico em alta frequência (constante final) — passo importante para desenhar as retas.
Ganho constante em dB:
20\log_{10}4\approx 20\cdot 0,60206\approx 12,04\\ \mathrm{dB}.
Comportamento em alta frequência (usando aproximações |1+j\omega/\omega_0|\approx\omega/\omega_0 para \omega\gg\omega_0):
\begin{aligned} 20\log_{10}|H(j\omega)|_{\omega\to\infty} &=20\log_{10}4+20\log_{10}\omega+20\log_{10}\frac{\omega}{1}-20\log_{10}\frac{\omega}{2}-20\log_{10}\frac{\omega}{4}\\\ &=20\log_{10}4+20\log_{10}2+20\log_{10}4\\\ &=20\log_{10}(4\cdot 2\cdot 4)=20\log_{10}32\\\ &\approx 20\cdot 1,50515\approx 30,10\\ \mathrm{dB}. \end{aligned}
Logo a assíntota final (para \omega muito grande) é aproximadamente +30,10 dB — e como o slope final é 0 dB/dec, a curva de magnitude tende a essa constante.

Passo 5

Montagem das assíntotas de magnitude passo a passo (com pontos numéricos de referência). Vamos calcular valores aproximados em algumas frequências úteis para guiar o esboço (usar a expressão exata para valores pontuais é sempre possível; aqui apresento aproximações por cálculo manual controlado).
Fórmula exata útil:
20\log_{10}|H(j\omega)|=20\log_{10}4+20\log_{10}\omega+20\log_{10}\sqrt{1+\omega^2}-20\log_{10}\sqrt{1+(\tfrac{\omega}{2})^2}-20\log_{10}\sqrt{1+(\tfrac{\omega}{4})^2}.
Cálculos aproximados (usar vírgula como separador decimal):
  • Em \omega=0,1:
    • 20\log_{10}\omega=20\log_{10}0,1=-20 dB.
    • Fatores |1+j\omega/\omega_0|\approx 1 (pois \omega muito menor que 1,2,4), então:
    20\log_{10}|H(j0,1)|\approx 12,04-20=-7,96\\ \mathrm{dB}.
  • Em \omega=1:
    • 20\log_{10}\omega=0.
    • |1+j1|=\sqrt{2}\Rightarrow 20\log_{10}\sqrt{2}\approx 3,01\\ \mathrm{dB}.
    • |1+j1/2|=\sqrt{1+0,25}=1,118\Rightarrow 20\log_{10}\approx 0,96\\ \mathrm{dB}.
    • |1+j1/4|=\sqrt{1+0,0625}=1,0308\Rightarrow 20\log_{10}\approx 0,26\\ \mathrm{dB}.
    • Somando/subtraindo:
    20\log_{10}|H(j1)|\approx 12,04+0+3,01-0,96-0,26\approx 13,82\\ \mathrm{dB}.
  • Em \omega=2:
    • 20\log_{10}\omega=20\log_{10}2\approx 6,02\\ \mathrm{dB}.
    • |1+j2|=\sqrt{5}\Rightarrow 20\log_{10}\approx 6,99\\ \mathrm{dB}.
    • |1+j(2/2)|=\sqrt{2}\Rightarrow 3,01\\ \mathrm{dB}.
    • |1+j(2/4)|=\sqrt{1+0,25}=1,118\Rightarrow 0,96\\ \mathrm{dB}.
    • Resultado:
    20\log_{10}|H(j2)|\approx 12,04+6,02+6,99-3,01-0,96\approx 21,08\\ \mathrm{dB}.
  • Em \omega=4:
    • 20\log_{10}\omega=20\log_{10}4\approx 12,04\\ \mathrm{dB}.
    • |1+j4|=\sqrt{17}\Rightarrow 20\log_{10}\approx 12,26\\ \mathrm{dB}.
    • |1+j(4/2)|=\sqrt{5}\Rightarrow 6,99\\ \mathrm{dB}.
    • |1+j(4/4)|=\sqrt{2}\Rightarrow 3,01\\ \mathrm{dB}.
    • Resultado:
    20\log_{10}|H(j4)|\approx 12,04+12,04+12,26-6,99-3,01\approx 26,34\\ \mathrm{dB}.
  • Em alta frequência \omega\gg 4 (por exemplo \omega=100) a magnitude tende para \approx 30,10\\ \mathrm{dB}, conforme calculado antes.
Esses pontos junto com as retas assintóticas por intervalo (do Passo 3) permitem traçar o diagrama de magnitude de forma precisa o suficiente para uma prova sem usar calculadora além desses cálculos simples.

Passo 6

Montagem do diagrama de fase (regras práticas e valores exatos em alguns pontos).
Expressão exata da fase, repetindo:
\angle H(j\omega)=90^\circ+\arctan(\omega)-\arctan\!\bigl(\tfrac{\omega}{2}\bigr)-\arctan\!\bigl(\tfrac{\omega}{4}\bigr).
Regras práticas:
  • O termo 90^\circ vem do zero na origem ( j\omega).
  • Cada fator (1+j\omega/\omega_0) contribui com \arctan(\omega/\omega_0) se for zero, e com -\arctan(\omega/\omega_0) se for pólo.
  • Para esboço rápido usar aproximação por assíntotas: cada zero/pólo de 1ª ordem muda a fase em \pm 90^\circ ao longo de duas décadas centradas em \omega_0 (transição de \omega_0/10 a 10\omega_0), com valor aproximado \pm 45^\circ em \omega=\omega_0. Mas aqui temos a vantagem que a expressão exata é simples para calcular pontos chave.
Calculando a fase em alguns \omega importantes (valores aproximados em graus):
  • Em \omega=0,1:
    • \arctan(0,1)\approx 5,71^\circ.
    • \arctan(0,05)\approx 2,86^\circ.
    • \arctan(0,025)\approx 1,43^\circ.
    • \angle H(j0,1)\approx 90+5,71-2,86-1,43\approx 91,42^\circ.
  • Em \omega=1:
    • \arctan(1)=45^\circ.
    • \arctan(0,5)\approx 26,565^\circ.
    • \arctan(0,25)\approx 14,036^\circ.
    • \angle H(j1)\approx 90+45-26,565-14,036\approx 94,40^\circ.
  • Em \omega=2:
    • \arctan(2)\approx 63,435^\circ.
    • \arctan(1)=45^\circ.
    • \arctan(0,5)\approx 26,565^\circ.
    • \angle H(j2)\approx 90+63,435-45-26,565\approx 81,87^\circ.
  • Em \omega=4:
    • \arctan(4)\approx 75,964^\circ.
    • \arctan(2)\approx 63,435^\circ.
    • \arctan(1)=45^\circ.
    • \angle H(j4)\approx 90+75,964-63,435-45\approx 57,53^\circ.
  • Em \omega=10:
    • \arctan(10)\approx 84,29^\circ.
    • \arctan(5)\approx 78,69^\circ.
    • \arctan(2,5)\approx 68,20^\circ.
    • \angle H(j10)\approx 90+84,29-78,69-68,20\approx 27,40^\circ.
Comportamento assintótico:
  • Para \omega\to 0: \angle H\to 90^\circ (predomínio do zero na origem).
  • Para \omega\to\infty: cada \arctan tende a 90^\circ, então \angle H(\omega\to\infty)=90^\circ+90^\circ-90^\circ-90^\circ=0^\circ.Assim a fase cai de cerca de +90^\circ a 0^\circ passando pelas transições em torno de \omega=1,2,4.

Passo 7

Instruções práticas para desenhar os diagramas na prova (sem calculadora complexa):
  1. Desenhe o eixo logarítmico de \omega com marcas típicas (0,1,2,4,10, etc.). Marque as quebras em \omega=1,2,4.
  2. Para magnitude:
    • Comece no nível de referência calculado para \omega pequeno: use 20\log_{10}4 + 20\log_{10}\omega para \omega<1.
    • A partir de \omega=1 aumente a inclinação em mais +20 dB/dec (total +40 dB/dec) até \omega=2.
    • A partir de \omega=2 diminua a inclinação em 20 dB/dec (volta para +20 dB/dec) até \omega=4.
    • A partir de \omega=4 diminua mais 20 dB/dec (chegando a 0 dB/dec), ajustando para a assíntota final \approx 30,10 dB.
    • Coloque os pontos calculados em \omega=0,1,2,4,10 para guiar o traçado realista (valores do Passo 5).
  3. Para fase:
    • Use a expressão exata \angle H=90^\circ+\arctan(\omega)-\arctan(\tfrac{\omega}{2})-\arctan(\tfrac{\omega}{4}) para pontuar valores em \omega=0,1,2,4,10 (valores dados no Passo 6).
    • Desenhe uma transição suave de cerca de +90^\circ (em \omega\ll 1) para 0^\circ (em \omega\gg 4), com quedas graduais centradas nas frequências de quebra (cada contribuição de ±90° se estende ao longo de ≈ duas décadas centradas na quebras).
  4. Se for pedido, marque o valor em dB de ganho nas frequências calculadas e os valores de fase em graus nos mesmos pontos.

Resposta

Resumo final para os diagramas de Bode de H(s)=\dfrac{4s(s+1)}{(s+4)(s+2)}:
  • Quebras (esquinas): \omega=1,\;2,\;4 (além do zero na origem).
  • Expressões exatas úteis: 20\log_{10}|H(j\omega)|=20\log_{10}4+20\log_{10}\omega+20\log_{10}\sqrt{1+\omega^{2}}-20\log_{10}\sqrt{1+(\tfrac{\omega}{2})^{2}}-20\log_{10}\sqrt{1+(\tfrac{\omega}{4})^{2}},
\angle H(j\omega)=90^\circ+\arctan(\omega)-\arctan\!\bigl(\tfrac{\omega}{2}\bigr)-\arctan\!\bigl(\tfrac{\omega}{4}\bigr).
  • Ganho em dB do termo constante: 20\log_{10}4\approx 12,04\\ \mathrm{dB}.
  • Inclinações assintóticas por intervalos:
    • 0<\omega<1: +20 dB/dec;
    • 1<\omega<2: +40 dB/dec;
    • 2<\omega<4: +20 dB/dec;
    • \omega>4: 0 dB/dec (constante).
  • Assíntota final de magnitude (alta frequência): \approx 30,10\\ \mathrm{dB}.
  • Valores aproximados de magnitude (dB) em pontos de referência:
    • \omega=0{,}1:\; -7,96\\ \mathrm{dB}.
    • \omega=1:\; 13,82\\ \mathrm{dB}.
    • \omega=2:\; 21,08\\ \mathrm{dB}.
    • \omega=4:\; 26,34\\ \mathrm{dB}.
    • \omega\gg 4:\; \to 30,10\\ \mathrm{dB}.
  • Valores aproximados de fase (graus) em pontos de referência:
    • \omega=0{,}1:\; 91,4^\circ.
    • \omega=1:\; 94,4^\circ.
    • \omega=2:\; 81,9^\circ.
    • \omega=4:\; 57,5^\circ.
    • \omega=10:\; 27,4^\circ.
    • \omega\to 0:\; \angle H\to 90^\circ,\qquad \omega\to\infty:\; \angle H\to 0^\circ.
Com essas assíntotas, inclinações e pontos numéricos você tem todas as informações necessárias para traçar os diagramas de Bode de magnitude e fase de forma precisa em uma prova.

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