Construir os diagramas de Bode para as seguintes funções de transferência: H(s)=\frac{4 s(s+1)}{(s+4)(s+2)}
Passo 1
O enunciado pede: construir os diagramas de Bode (magnitude e fase) para a função de transferência
H(s)=\frac{4\,s(s+1)}{(s+4)(s+2)}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Ganho constante: 4.
Zeros e polos (da fatoração explícita):
Zero na origem: s=0 (fator s).
Zero em s=-1 (fator s+1, frequência de esquina \omega=1).
Pólo em s=-2 (fator s+2, frequência de esquina \omega=2).
Pólo em s=-4 (fator s+4, frequência de esquina \omega=4).
O que é pedido: esboçar (construir) o diagrama de Bode de magnitude (em dB) e de fase (em graus), com as assíntotas e com pontos relevantes para guiar o desenho.
Passo 2
Vamos escrever a magnitude e a fase em forma apropriada para Bode e explicar as regras que usaremos.
Fórmula exata (magnitude em dB e fase em graus). Primeiro a forma complexa com s=j\omega:
Explicação das regras de construção (bem didática):
Em dB, produtos viram somas: cada fator contribui somando uma curva.
Um zero de primeira ordem em \omega_0 contribui com uma subida de +20 dB/decade a partir de \omega_0 (na assíntota); ele adiciona uma fase que evolui de 0^\circ para +90^\circ aproximadamente entre \omega_0/10 e 10\omega_0.
Um pólo de primeira ordem em \omega_0 contribui com uma descida de -20 dB/decade a partir de \omega_0; sua fase evolui de 0^\circ para -90^\circ entre \omega_0/10 e 10\omega_0.
Um zero na origem (fator s) contribui com +20 dB/decade em magnitude a partir de \omega muito baixo e com fase fixa +90^\circ.
Para as assíntotas de magnitude, nos pontos de esquina (cada \omega_0) a correção típica é que a curva real difere da assíntota cerca de +3 dB (para zero/pólo de primeira ordem) no próprio ponto de esquina; isso é útil para posicionar pontos exatos.
Passo 3
Identificação das frequências de quebra (esquinas) e contribuição de cada fator para a inclinação (slope):
Logo a assíntota final (para \omega muito grande) é aproximadamente +30,10 dB — e como o slope final é 0 dB/dec, a curva de magnitude tende a essa constante.
Passo 5
Montagem das assíntotas de magnitude passo a passo (com pontos numéricos de referência). Vamos calcular valores aproximados em algumas frequências úteis para guiar o esboço (usar a expressão exata para valores pontuais é sempre possível; aqui apresento aproximações por cálculo manual controlado).
Em alta frequência \omega\gg 4 (por exemplo \omega=100) a magnitude tende para \approx 30,10\\ \mathrm{dB}, conforme calculado antes.
Esses pontos junto com as retas assintóticas por intervalo (do Passo 3) permitem traçar o diagrama de magnitude de forma precisa o suficiente para uma prova sem usar calculadora além desses cálculos simples.
Passo 6
Montagem do diagrama de fase (regras práticas e valores exatos em alguns pontos).
Cada fator (1+j\omega/\omega_0) contribui com \arctan(\omega/\omega_0) se for zero, e com -\arctan(\omega/\omega_0) se for pólo.
Para esboço rápido usar aproximação por assíntotas: cada zero/pólo de 1ª ordem muda a fase em \pm 90^\circ ao longo de duas décadas centradas em \omega_0 (transição de \omega_0/10 a 10\omega_0), com valor aproximado \pm 45^\circ em \omega=\omega_0. Mas aqui temos a vantagem que a expressão exata é simples para calcular pontos chave.
Calculando a fase em alguns \omega importantes (valores aproximados em graus):
Para \omega\to 0: \angle H\to 90^\circ (predomínio do zero na origem).
Para \omega\to\infty: cada \arctan tende a 90^\circ, então\angle H(\omega\to\infty)=90^\circ+90^\circ-90^\circ-90^\circ=0^\circ.Assim a fase cai de cerca de +90^\circ a 0^\circ passando pelas transições em torno de \omega=1,2,4.
Passo 7
Instruções práticas para desenhar os diagramas na prova (sem calculadora complexa):
Desenhe o eixo logarítmico de \omega com marcas típicas (0,1,2,4,10, etc.). Marque as quebras em \omega=1,2,4.
Para magnitude:
Comece no nível de referência calculado para \omega pequeno: use 20\log_{10}4 + 20\log_{10}\omega para \omega<1.
A partir de \omega=1 aumente a inclinação em mais +20 dB/dec (total +40 dB/dec) até \omega=2.
A partir de \omega=2 diminua a inclinação em 20 dB/dec (volta para +20 dB/dec) até \omega=4.
A partir de \omega=4 diminua mais 20 dB/dec (chegando a 0 dB/dec), ajustando para a assíntota final \approx 30,10 dB.
Coloque os pontos calculados em \omega=0,1,2,4,10 para guiar o traçado realista (valores do Passo 5).
Para fase:
Use a expressão exata \angle H=90^\circ+\arctan(\omega)-\arctan(\tfrac{\omega}{2})-\arctan(\tfrac{\omega}{4}) para pontuar valores em \omega=0,1,2,4,10 (valores dados no Passo 6).
Desenhe uma transição suave de cerca de +90^\circ (em \omega\ll 1) para 0^\circ (em \omega\gg 4), com quedas graduais centradas nas frequências de quebra (cada contribuição de ±90° se estende ao longo de ≈ duas décadas centradas na quebras).
Se for pedido, marque o valor em dB de ganho nas frequências calculadas e os valores de fase em graus nos mesmos pontos.
Resposta
Resumo final para os diagramas de Bode de H(s)=\dfrac{4s(s+1)}{(s+4)(s+2)}:
Quebras (esquinas): \omega=1,\;2,\;4 (além do zero na origem).
Com essas assíntotas, inclinações e pontos numéricos você tem todas as informações necessárias para traçar os diagramas de Bode de magnitude e fase de forma precisa em uma prova.