Construir o gráfico de cada uma das seguintes funçoís, em um período, dando o dominio, a imagem eo período:
Passo 1
O enunciado pede: construir o gráfico, em um período, da função
, e também dar o domínio, a imagem e o período dessa função.
Informações que temos do enunciado: a função é . Não há outros coeficientes em
além de
, nem translações verticais.
Informações que temos do enunciado: a função é
Passo 2
Primeiro vamos relembrar, de forma bem prática, como é a função seno básica
.
- A função
é uma função trigonométrica que descreve uma onda suave que oscila entre e . - Alguns valores-chave (que eu sempre memorizo) são:
, , , , . Esses pontos formam um ciclo completo. - O período de
é : isso significa que o padrão se repete a cada incremento de em . - A amplitude (tamanho máximo da oscilação) da função
é .
Passo 3
Agora vemos o efeito do coeficiente
na frente do seno. Se tivermos
, o coeficiente
faz um alongamento vertical:
- A amplitude passa de
para . Aqui , então a amplitude será .
Isso significa que todos os valores da(que estão entre e ) serão multiplicados por , ficando entre e .
Passo 4
Domínio: por que o domínio é todos os reais?
- A função
está definida para qualquer (a função seno não tem buracos ou divisões por zero). - Multiplicar por
não elimina pontos do domínio.
Logo o domínio deé .
Passo 5
Período: qual é o período de
?
- A fórmula geral é: para
, o período é . - No nosso caso
, então o período é .
Portanto um período da função é qualquer intervalo de comprimento, por exemplo .
Passo 6
Escolhendo um período concreto para desenhar (vou usar
), vamos calcular os pontos-chave nesse intervalo usando os valores do seno que lembramos:
- Em
: então . Ponto . - Em
: então . Ponto . - Em
: então . Ponto . - Em
: então . Ponto . - Em
: então . Ponto .
Também é útil calcular um ponto intermediário para ver a curvatura:
- Em
: então . Ponto .
Passo 7
Como desenhar o gráfico no papel (passo a passo prático):
- Trace eixos cartesianos. No eixo
marque os pontos . No eixo marque . - Marque os pontos calculados:
, , , , . Marque também se quiser mais precisão. - Ligue esses pontos com uma curva suave tipo onda (sem ângulos), subindo de
até o máximo , descendo até , continuando até o mínimo e voltando a . Essa é a forma típica de seno, só esticada verticalmente por fator . - Observe que entre os pontos a curva é contínua e suave; se quiser mais precisão desenhe pontos em quartas menores (por exemplo
, etc.) usando valores de conhecidos.
Passo 8
Resumo conceitual para decorar e usar na prova:
- Multiplicador vertical
altera a amplitude para . - Coeficiente em
(o em ) altera o período por . - Translações somam ou subtraem no domínio/imagem dependendo de
e .
No nosso caso, amplitude, período , sem translações.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Período: (um período conveniente para desenhar:
)
Imagem:
Período: