Construir o gráfico de cada uma das seguintes funçoís, em um período, dando o dominio, a imagem eo período:
y=4 \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede: construir o gráfico, em um período, da função \;y=4\sin x\;, e também dar o domínio, a imagem e o período dessa função.
Informações que temos do enunciado: a função é \;y=4\sin x\;. Não há outros coeficientes em x além de 1, nem translações verticais.

Passo 2

Primeiro vamos relembrar, de forma bem prática, como é a função seno básica \;\sin x\;.
  • A função \;\sin x\; é uma função trigonométrica que descreve uma onda suave que oscila entre -1 e 1.
  • Alguns valores-chave (que eu sempre memorizo) são: \sin 0=0, \sin\frac{\pi}{2}=1, \sin\pi=0, \sin\frac{3\pi}{2}=-1, \sin 2\pi=0. Esses pontos formam um ciclo completo.
  • O período de \;\sin x\; é \;2\pi\;: isso significa que o padrão se repete a cada incremento de \;2\pi\; em x.
  • A amplitude (tamanho máximo da oscilação) da função \;\sin x\; é 1.

Passo 3

Agora vemos o efeito do coeficiente 4 na frente do seno. Se tivermos \;y=A\sin x\;, o coeficiente A faz um alongamento vertical:
  • A amplitude passa de 1 para |A|. Aqui A=4, então a amplitude será |4|=4.
    Isso significa que todos os valores da \sin x (que estão entre -1 e 1) serão multiplicados por 4, ficando entre -4 e 4.

Passo 4

Domínio: por que o domínio é todos os reais?
  • A função \sin x está definida para qualquer x\in\mathbb{R} (a função seno não tem buracos ou divisões por zero).
  • Multiplicar por 4 não elimina pontos do domínio.
    Logo o domínio de \;y=4\sin x\; é \mathbb{R}.

Passo 5

Período: qual é o período de \;y=4\sin x\;?
  • A fórmula geral é: para \;y=A\sin(bx+c)+d\;, o período é \;\dfrac{2\pi}{|b|}.
  • No nosso caso b=1, então o período é \dfrac{2\pi}{1}=2\pi.
    Portanto um período da função é qualquer intervalo de comprimento \;2\pi\;, por exemplo [0,2\pi].

Passo 6

Escolhendo um período concreto para desenhar (vou usar [0,2\pi]), vamos calcular os pontos-chave nesse intervalo usando os valores do seno que lembramos:
  • Em \;x=0\;: \sin 0=0 então \;y=4\sin 0=0. Ponto (0,0).
  • Em \;x=\dfrac{\pi}{2}\;: \sin\frac{\pi}{2}=1 então \;y=4\cdot 1=4. Ponto \big(\tfrac{\pi}{2},4\big).
  • Em \;x=\pi\;: \sin\pi=0 então \;y=0. Ponto (\pi,0).
  • Em \;x=\dfrac{3\pi}{2}\;: \sin\frac{3\pi}{2}=-1 então \;y=4\cdot(-1)=-4. Ponto \big(\tfrac{3\pi}{2},-4\big).
  • Em \;x=2\pi\;: \sin 2\pi=0 então \;y=0. Ponto (2\pi,0).
Também é útil calcular um ponto intermediário para ver a curvatura:
  • Em \;x=\dfrac{\pi}{4}\;: \sin\frac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} então \;y=4\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\approx 2{,}828. Ponto \big(\tfrac{\pi}{4},2\sqrt{2}\big).

Passo 7

Como desenhar o gráfico no papel (passo a passo prático):
  1. Trace eixos cartesianos. No eixo x marque os pontos \;0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2},2\pi\;. No eixo y marque -4,-2,0,2,4.
  2. Marque os pontos calculados: (0,0), \big(\tfrac{\pi}{2},4\big), (\pi,0), \big(\tfrac{3\pi}{2},-4\big), (2\pi,0). Marque também \big(\tfrac{\pi}{4},2\sqrt{2}\big) se quiser mais precisão.
  3. Ligue esses pontos com uma curva suave tipo onda (sem ângulos), subindo de (0,0) até o máximo \big(\tfrac{\pi}{2},4\big), descendo até (\pi,0), continuando até o mínimo \big(\tfrac{3\pi}{2},-4\big) e voltando a (2\pi,0). Essa é a forma típica de seno, só esticada verticalmente por fator 4.
  4. Observe que entre os pontos a curva é contínua e suave; se quiser mais precisão desenhe pontos em quartas menores (por exemplo \pi/6,\pi/3, etc.) usando valores de \sin conhecidos.

Passo 8

Resumo conceitual para decorar e usar na prova:
  • Multiplicador vertical A altera a amplitude para |A|.
  • Coeficiente em x (o b em \sin(bx)) altera o período por \;2\pi/|b|.
  • Translações somam ou subtraem no domínio/imagem dependendo de c e d.
    No nosso caso, amplitude 4, período 2\pi, sem translações.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [-4,4]
Período: 2\pi (um período conveniente para desenhar: [0,2\pi])

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