( \mathbf{2 , 5} pontos) Uma determinada população foi modelado pela equação diferencial abaixo
\frac{d P}{d t}=0,08 P\left(1-\frac{P}{1000}\right)
onde P(t) é a quantidade de membros da população no instante t (medido em anos).
(a) Encontre a solução explícita para a equação diferencial.
(b) Se P(0)=100, calcule a população após 40 anos.
(c) Quanto tempo levará para a população alcançar 900 membros?

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dP}{dt}=0,08\,P\Bigl(1-\frac{P}{1000}\Bigr),
onde P(t) é a população no tempo t (em anos). As perguntas são:
(a) encontrar a solução explícita P(t) da equação diferencial;
(b) com P(0)=100, calcular P(40);
(c) determinar o tempo necessário para P(t)=900.

Passo 2

Vamos reorganizar a equação para poder separar as variáveis (colocar termos em P com dP e termos em t com dt). Escrevemos
\frac{dP}{dt}=0,08\,P\Bigl(1-\frac{P}{1000}\Bigr).
Passando tudo em P para o lado esquerdo e dt para o direito:
\frac{dP}{P\bigl(1-\frac{P}{1000}\bigr)}=0,08\,dt.
Essa é a etapa padrão chamada de separação de variáveis.

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo é conveniente simplificar a fração. Observe que
P\Bigl(1-\frac{P}{1000}\Bigr)=P\frac{1000-P}{1000}=\frac{1}{1000}P(1000-P).
Portanto
\frac{dP}{P\bigl(1-\frac{P}{1000}\bigr)}=\frac{1000\,dP}{P(1000-P)}.
É comum chamar K=1000 (capacidade de suporte) e r=0,08 (taxa). Assim precisamos integrar
\int \frac{1000\,dP}{P(1000-P)} = \int 0,08\,dt.

Passo 4

Fazemos decomposição em frações parciais para integrar o lado esquerdo. Queremos constantes A,B tais que
\frac{1000}{P(1000-P)}=\frac{A}{P}+\frac{B}{1000-P}.
Multiplicando por P(1000-P) obtemos
1000 = A(1000-P) + B P = 1000A + (B-A)P.
Para que isso valha para todo P precisamos que os coeficientes sejam iguais: 1000A=1000 e B-A=0. Logo A=1 e B=1. Portanto
\frac{1000}{P(1000-P)}=\frac{1}{P}+\frac{1}{1000-P}.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados usando a decomposição:
\int\Bigl(\frac{1}{P}+\frac{1}{1000-P}\Bigr)dP=\int 0,08\,dt.
Cuidado no segundo termo: \int \frac{1}{1000-P}dP=-\ln|1000-P| porque a derivada de 1000-P é -1. Assim obtemos
\ln|P| - \ln|1000-P| = 0,08\,t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Usamos propriedades dos logaritmos para juntar o lado esquerdo:
\ln\!\Bigl(\frac{P}{1000-P}\Bigr)=0,08\,t + C.
Exponenciando ambos os lados:
\frac{P}{1000-P}=C_1 e^{0,08\,t},
onde C_1=e^{C} é uma constante positiva (pode ser qualquer número real positivo). Agora isolamos P. Multiplicando ambos os lados por 1000-P e resolvendo:
P = (1000-P)C_1 e^{0,08\,t} \Rightarrow P\bigl(1+C_1 e^{0,08\,t}\bigr)=1000 C_1 e^{0,08\,t}.
Logo
P(t)=\frac{1000\,C_1 e^{0,08\,t}}{1+C_1 e^{0,08\,t}}.
Uma forma equivalente, obtida dividindo numerador e denominador por C_1 e^{0,08 t}, é a forma canônica
P(t)=\frac{1000}{1+A e^{-0,08\,t}},
onde A=\frac{1}{C_1} é outra constante determinada pela condição inicial.

Passo 7

Agora aplicamos a condição inicial para encontrar a constante A. Sabemos P(0)=100, então pela forma canônica:
100 = \frac{1000}{1+A e^{0}}=\frac{1000}{1+A}.
Resolvendo para A:
1+A=\frac{1000}{100}=10 \quad\Rightarrow\quad A=9.

Passo 8

Substituindo A=9 na solução canônica obtemos a solução explícita pedida:
P(t)=\frac{1000}{1+9 e^{-0,08\,t}}.
Esta é a resposta do item (a). Ela descreve crescimento logístico com taxa 0,08 e capacidade 1000.

Passo 9

Para o item (b) calculamos P(40). Substituindo t=40 na expressão:
P(40)=\frac{1000}{1+9 e^{-0,08\cdot 40}}.
Calculemos -0,08\cdot 40 = -3,2 e e^{-3,2}\approx 0,0407622. Então
9 e^{-3,2}\approx 9\cdot 0,0407622\approx 0,3668598,
1+9 e^{-3,2}\approx 1,3668598,
P(40)\approx\frac{1000}{1,3668598}\approx 731,06.
Portanto, após 40 anos a população será aproximadamente 731,06 membros (arredondando, cerca de 731 pessoas).

Passo 10

Para o item (c) queremos t tal que P(t)=900. Use a fórmula explícita:
900=\frac{1000}{1+9 e^{-0,08\,t}}.
Invertendo:
1+9 e^{-0,08\,t}=\frac{1000}{900}=\frac{10}{9}.
Logo
9 e^{-0,08\,t}=\frac{10}{9}-1=\frac{1}{9},
e^{-0,08\,t}=\frac{1}{81}.
Tomando logaritmo natural:
-0,08\,t=\ln\!\Bigl(\frac{1}{81}\Bigr)=-\ln(81)=-4\ln 3.
Portanto
t=\frac{4\ln 3}{0,08}.
Calculando numericamente: \ln 3\approx 1,098612289, então
t\approx\frac{4\cdot 1,098612289}{0,08}\approx 54,93\\ \text{anos}.

Resposta

(a) \displaystyle P(t)=\frac{1000}{1+9 e^{-0,08\,t}}.
(b) \displaystyle P(40)\approx 731{,}06.
(c) \displaystyle t=\frac{4\ln 3}{0,08}\approx 54{,}93\\ \text{anos}.

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