(
pontos) Uma determinada população foi modelado pela equação diferencial abaixo
onde
é a quantidade de membros da população no instante
(medido em anos).
(a) Encontre a solução explícita para a equação diferencial.
(b) Se
, calcule a população após 40 anos.
(c) Quanto tempo levará para a população alcançar 900 membros?
(a) Encontre a solução explícita para a equação diferencial.
(b) Se
(c) Quanto tempo levará para a população alcançar 900 membros?
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
onde
é a população no tempo
(em anos). As perguntas são:
(a) encontrar a solução explícita da equação diferencial;
(b) com , calcular
;
(c) determinar o tempo necessário para .
(a) encontrar a solução explícita
(b) com
(c) determinar o tempo necessário para
Passo 2
Vamos reorganizar a equação para poder separar as variáveis (colocar termos em
com
e termos em
com
). Escrevemos
Passando tudo em
para o lado esquerdo e
para o direito:
Essa é a etapa padrão chamada de separação de variáveis.
Passo 3
Para integrar o lado esquerdo é conveniente simplificar a fração. Observe que
Portanto
É comum chamar
(capacidade de suporte) e
(taxa). Assim precisamos integrar
Passo 4
Fazemos decomposição em frações parciais para integrar o lado esquerdo. Queremos constantes
tais que
Multiplicando por
obtemos
Para que isso valha para todo
precisamos que os coeficientes sejam iguais:
e
. Logo
e
. Portanto
Passo 5
Agora integramos ambos os lados usando a decomposição:
Cuidado no segundo termo:
porque a derivada de
é
. Assim obtemos
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Usamos propriedades dos logaritmos para juntar o lado esquerdo:
Exponenciando ambos os lados:
onde
é uma constante positiva (pode ser qualquer número real positivo). Agora isolamos
. Multiplicando ambos os lados por
e resolvendo:
Logo
Uma forma equivalente, obtida dividindo numerador e denominador por
, é a forma canônica
onde
é outra constante determinada pela condição inicial.
Passo 7
Agora aplicamos a condição inicial para encontrar a constante
. Sabemos
, então pela forma canônica:
Resolvendo para
:
Passo 8
Substituindo
na solução canônica obtemos a solução explícita pedida:
Esta é a resposta do item (a). Ela descreve crescimento logístico com taxa
e capacidade
.
Passo 9
Para o item (b) calculamos
. Substituindo
na expressão:
Calculemos
e
. Então
Portanto, após 40 anos a população será aproximadamente
membros (arredondando, cerca de
pessoas).
Passo 10
Para o item (c) queremos
tal que
. Use a fórmula explícita:
Invertendo:
Logo
Tomando logaritmo natural:
Portanto
Calculando numericamente:
, então
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)