Sem construir o gráfico, calcule o valor máximo ou mínimo em cada função quadrática.
f(x)=3 x^{2}-15 x

Passo 1

O enunciado pede: para a função quadrática f(x)=3x^{2}-15x, calcular o valor máximo ou mínimo.
Informações dadas: a expressão explícita da função quadrática f(x)=3x^{2}-15x.
Meta clara: descobrir se há máximo ou mínimo, e qual é esse valor (e, se útil para a prova, em que x ele é atingido).

Passo 2

Vamos observar a forma geral e um fato importante sobre coeficientes. Aqui a função é da forma padrão
f(x)=ax^{2}+bx+c
com a=3, b=-15 e c=0. Um ponto didático: quando a>0 a parábola abre para cima e a função tem um mínimo; quando a<0 abre para baixo e tem um máximo. Como a=3>0, concluímos que a função tem um mínimo (não um máximo).

Passo 3

Método escolhido: completar o quadrado — é um método básico e muito útil em provas para encontrar o vértice (ponto de mínimo/máximo) sem derivadas. Vou explicar a ideia: transformar ax^{2}+bx+c em a(x-h)^{2}+k. Nesse formato, h é a abscissa do vértice e k é o valor mínimo (se a>0) ou máximo (se a<0). A técnica é fatorar a do termo quadrático e linear e completar o quadrado dentro do parêntese.

Passo 4

Aplicando completar o quadrado em f(x)=3x^{2}-15x. Primeiro fatoramos 3 dos dois primeiros termos:
f(x)=3\bigl(x^{2}-5x\bigr).
Agora dentro do parêntese completamos o quadrado. A regra é: para x^{2}+px, somar e subtrair \bigl(\tfrac{p}{2}\bigr)^{2}. Aqui p=-5, então \bigl(\tfrac{p}{2}\bigr)^{2}=\bigl(\tfrac{-5}{2}\bigr)^{2}=\tfrac{25}{4}. Então
x^{2}-5x = \left(x^{2}-5x+\tfrac{25}{4}\right)-\tfrac{25}{4} = \left(x-\tfrac{5}{2}\right)^{2}-\tfrac{25}{4}.
Substituindo isso em f(x):
f(x)=3\left[\left(x-\tfrac{5}{2}\right)^{2}-\tfrac{25}{4}\right].

Passo 5

Distribuindo o 3 no último resultado:
f(x)=3\left(x-\tfrac{5}{2}\right)^{2}-3\cdot\tfrac{25}{4}.
Calculando 3\cdot\tfrac{25}{4}=\tfrac{75}{4}, obtemos
f(x)=3\left(x-\tfrac{5}{2}\right)^{2}-\tfrac{75}{4}.
Este é agora o formato a(x-h)^{2}+k com a=3, h=\tfrac{5}{2} e k=-\tfrac{75}{4}. Como a>0, o termo 3\left(x-\tfrac{5}{2}\right)^{2} é sempre \ge 0 e atinge 0 quando x=\tfrac{5}{2}. Portanto o menor valor de f é k=-\tfrac{75}{4}, atingido em x=\tfrac{5}{2}.

Passo 6

Para conferir numericamente: calcular f\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr) diretamente dá
f\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr)=3\left(\tfrac{5}{2}\right)^{2}-15\left(\tfrac{5}{2}\right)=3\cdot\tfrac{25}{4}-\tfrac{75}{2}=\tfrac{75}{4}-\tfrac{150}{4}=-\tfrac{75}{4},
o que confirma o valor encontrado por completar o quadrado. Em forma decimal isso é -18{,}75, se preferir.

Passo 7

Resumo interpretativo para prova (dica prática): sempre comece vendo o sinal de a para saber se procura máximo ou mínimo. Em seguida, completar o quadrado é um procedimento rápido e “à prova de caneta” para obter o vértice: fatorar a, completar o quadrado dentro, e simplificar. Outra opção igualmente rápida em prova é usar a fórmula da abscissa do vértice x=-\tfrac{b}{2a}; aplicando aqui dá x=-\tfrac{-15}{2\cdot3}=\tfrac{15}{6}=\tfrac{5}{2}, e depois calcular f nesse x para obter o valor extremo.

Resposta

Mínimo igual a -\tfrac{75}{4}, atingido em x=\tfrac{5}{2}.

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