Sem construir o gráfico, calcule o valor máximo ou mínimo em cada função quadrática.
f(x)=3 x^{2}-15 x
f(x)=3 x^{2}-15 x
Passo 1
O enunciado pede: para a função quadrática
, calcular o valor máximo ou mínimo.
Informações dadas: a expressão explícita da função quadrática .
Meta clara: descobrir se há máximo ou mínimo, e qual é esse valor (e, se útil para a prova, em que ele é atingido).
Informações dadas: a expressão explícita da função quadrática
Meta clara: descobrir se há máximo ou mínimo, e qual é esse valor (e, se útil para a prova, em que
Passo 2
Vamos observar a forma geral e um fato importante sobre coeficientes. Aqui a função é da forma padrão
com
,
e
. Um ponto didático: quando
a parábola abre para cima e a função tem um mínimo; quando
abre para baixo e tem um máximo. Como
, concluímos que a função tem um mínimo (não um máximo).
Passo 3
Método escolhido: completar o quadrado — é um método básico e muito útil em provas para encontrar o vértice (ponto de mínimo/máximo) sem derivadas. Vou explicar a ideia: transformar
em
. Nesse formato,
é a abscissa do vértice e
é o valor mínimo (se
) ou máximo (se
). A técnica é fatorar
do termo quadrático e linear e completar o quadrado dentro do parêntese.
Passo 4
Aplicando completar o quadrado em
. Primeiro fatoramos
dos dois primeiros termos:
Agora dentro do parêntese completamos o quadrado. A regra é: para
, somar e subtrair
. Aqui
, então
. Então
Substituindo isso em
:
Passo 5
Distribuindo o
no último resultado:
Calculando
, obtemos
Este é agora o formato
com
,
e
. Como
, o termo
é sempre
e atinge
quando
. Portanto o menor valor de
é
, atingido em
.
Passo 6
Para conferir numericamente: calcular
diretamente dá
o que confirma o valor encontrado por completar o quadrado. Em forma decimal isso é
, se preferir.
Passo 7
Resumo interpretativo para prova (dica prática): sempre comece vendo o sinal de
para saber se procura máximo ou mínimo. Em seguida, completar o quadrado é um procedimento rápido e “à prova de caneta” para obter o vértice: fatorar
, completar o quadrado dentro, e simplificar. Outra opção igualmente rápida em prova é usar a fórmula da abscissa do vértice
; aplicando aqui dá
, e depois calcular
nesse
para obter o valor extremo.
Resposta
Mínimo igual a
, atingido em
.