Sem construir o gráfico, calcule o valor máximo ou mínimo em cada função quadrática.
y=x^{2}-x-6
y=x^{2}-x-6
Passo 1
O enunciado dá a função quadrática
e pede para calcular o valor máximo ou mínimo dessa função (sem construir o gráfico). Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Coeficientes que aparecem na forma padrão
: vamos identificar , e antes de calcular.
Não vou resolver nada ainda; apenas listei o que o problema fornece e o que é pedido.
Passo 2
Estratégia geral (explicação didática): uma função quadrática
tem um único extremo (máximo ou mínimo) localizado no vértice da parábola. Existem duas formas simples e equivalentes de encontrar esse extremo:
- Usar a fórmula do eixo/abscissa do vértice:
. Aqui e são os coeficientes da função . Essa fórmula vem de completar o quadrado ou de derivada (mas não precisamos usar derivada). - Completar o quadrado na expressão
para reescrevê-la como . Isso mostra diretamente o valor mínimo (se ) ou máximo (se ) e o ponto onde ele ocorre.
Vou usar os dois pontos de vista: primeiro calcularcom a fórmula e depois completar o quadrado para encontrar o valor do extremo e mostrar por que é mínimo.
Passo 3
Identificar os coeficientes da função dada
comparando com
:
Passo 4
Calcular a abscissa do vértice usando a fórmula
. Explicando: essa fórmula dá a posição horizontal do vértice; basta substituir
e
.
Portanto o vértice está em
.
Passo 5
Agora calculamos o valor da função em
para obter a ordenada do vértice
. Substituo
em
e faço as contas bem devagar:
Calcule cada termo:
Somando com denominador comum
:
Assim
.
Passo 6
Para fixar a intuição, vou completar o quadrado na expressão original e mostrar que ela vale
, o que deixa óbvio que o mínimo é
.
Começo por agrupar e completar o quadrado:
Começo por agrupar
Agora reúno com o termo constante
(que é
):
Como
para todo
, a menor soma possível é quando esse quadrado vale
, dando o valor mínimo
alcançado em
. Observação: como
, a parábola abre para cima e o extremo é um mínimo — isso confirma a conclusão.
Passo 7
Resumo e incentivo: encontramos o vértice cuidando das contas passo a passo e mostrando também por que é mínimo. Boa notícia: é um problema curtinho mas que aparece muito em prova, então vale a pena decorar o jeito (fórmula do vértice) e também praticar completar o quadrado para ver a razão por trás da fórmula. Você conseguiu — só lembrar que
→ mínimo,
→ máximo.
Resposta
Mínimo:
em