Sem construir o gráfico, calcule o valor máximo ou mínimo em cada função quadrática.
y=x^{2}-x-6

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática y = x^{2} - x - 6 e pede para calcular o valor máximo ou mínimo dessa função (sem construir o gráfico). Informações relevantes fornecidas:
  • A função é y = x^{2} - x - 6.
  • Coeficientes que aparecem na forma padrão y = ax^{2} + bx + c: vamos identificar a, b e c antes de calcular.
    Não vou resolver nada ainda; apenas listei o que o problema fornece e o que é pedido.

Passo 2

Estratégia geral (explicação didática): uma função quadrática y = ax^{2} + bx + c tem um único extremo (máximo ou mínimo) localizado no vértice da parábola. Existem duas formas simples e equivalentes de encontrar esse extremo:
  1. Usar a fórmula do eixo/abscissa do vértice: x_{v} = -\dfrac{b}{2a}. Aqui a e b são os coeficientes da função ax^{2}+bx+c. Essa fórmula vem de completar o quadrado ou de derivada (mas não precisamos usar derivada).
  2. Completar o quadrado na expressão ax^{2}+bx+c para reescrevê-la como a\bigl(x - x_{v}\bigr)^{2} + y_{v}. Isso mostra diretamente o valor mínimo (se a>0) ou máximo (se a<0) e o ponto onde ele ocorre.
    Vou usar os dois pontos de vista: primeiro calcular x_{v} com a fórmula e depois completar o quadrado para encontrar o valor do extremo e mostrar por que é mínimo.

Passo 3

Identificar os coeficientes da função dada y = x^{2} - x - 6 comparando com y = ax^{2} + bx + c:
  • a = 1
  • b = -1
  • c = -6

Passo 4

Calcular a abscissa do vértice usando a fórmula x_{v} = -\dfrac{b}{2a}. Explicando: essa fórmula dá a posição horizontal do vértice; basta substituir a e b.
x_{v} = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-1}{2\cdot 1} = \dfrac{1}{2}.
Portanto o vértice está em x = \dfrac{1}{2}.

Passo 5

Agora calculamos o valor da função em x_{v} para obter a ordenada do vértice y_{v}. Substituo x=\dfrac{1}{2} em y = x^{2} - x - 6 e faço as contas bem devagar:
y\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2} - \left(\tfrac{1}{2}\right) - 6.
Calcule cada termo:
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2} = \tfrac{1}{4},\qquad -\left(\tfrac{1}{2}\right) = -\tfrac{1}{2},\qquad -6 = -\tfrac{24}{4}.
Somando com denominador comum 4:
y\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = \tfrac{1}{4} - \tfrac{2}{4} - \tfrac{24}{4} = \tfrac{1 - 2 - 24}{4} = -\tfrac{25}{4}.
Assim y_{v} = -\tfrac{25}{4} = -6{,}25.

Passo 6

Para fixar a intuição, vou completar o quadrado na expressão original e mostrar que ela vale (x-\tfrac{1}{2})^{2} - \tfrac{25}{4}, o que deixa óbvio que o mínimo é -\tfrac{25}{4}.
Começo por agrupar x^{2}-x e completar o quadrado:
x^{2}-x = \bigl(x^{2}-x+\tfrac{1}{4}\bigr) - \tfrac{1}{4} = \bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2} - \tfrac{1}{4}.
Agora reúno com o termo constante -6 (que é -\tfrac{24}{4}):
x^{2}-x-6 = \bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2} - \tfrac{1}{4} - 6 = \bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2} - \tfrac{1}{4} - \tfrac{24}{4} = \bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2} - \tfrac{25}{4}.
Como \bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}\ge 0 para todo x, a menor soma possível é quando esse quadrado vale 0, dando o valor mínimo -\tfrac{25}{4} alcançado em x=\tfrac{1}{2}. Observação: como a=1>0, a parábola abre para cima e o extremo é um mínimo — isso confirma a conclusão.

Passo 7

Resumo e incentivo: encontramos o vértice cuidando das contas passo a passo e mostrando também por que é mínimo. Boa notícia: é um problema curtinho mas que aparece muito em prova, então vale a pena decorar o jeito (fórmula do vértice) e também praticar completar o quadrado para ver a razão por trás da fórmula. Você conseguiu — só lembrar que a>0 → mínimo, a<0 → máximo.

Resposta

Mínimo: -\tfrac{25}{4} em x=\tfrac{1}{2}

Exercícios relacionados