Sem construir o gráfico, calcule o valor máximo ou mínimo em cada função quadrática.
y=2 x^{2}-7 x

Passo 1

O enunciado pede: para a função quadrática y=2x^{2}-7x, sem construir o gráfico, calcular o valor máximo ou mínimo.
Informações dadas: a função é y=2x^{2}-7x. Não há outros dados fornecidos.

Passo 2

Identifiquemos os coeficientes da forma geral da parábola. A forma geral de uma função quadrática é
y=ax^{2}+bx+c,
onde a, b e c são números reais (coeficientes). Para a função dada, temos:
a=2,\quad b=-7,\quad c=0.
Vou usar essas letras sempre que aparecerem fórmulas (por exemplo, a é o coeficiente de x^{2}, b de x, c o termo constante).

Passo 3

Saber se é máximo ou mínimo depende do sinal de a. Expliquei isso passo a passo:
  • Se a>0, a parábola “abre para cima” e a função tem um valor mínimo (o vértice é o ponto mais baixo).
  • Se a<0, a parábola “abre para baixo” e a função tem um valor máximo.
    Aqui a=2>0, portanto a função tem um valor mínimo (não tem máximo).

Passo 4

Método prático para achar o mínimo: encontrar o vértice da parábola. A abscissa (coordenada x) do vértice pode ser obtida pela fórmula
x_{v} = -\frac{b}{2a},
onde a e b são os coeficientes já identificados. Vou calcular x_{v} aplicando essa fórmula. (Explicação rápida de por que isso funciona: a fórmula vem da derivada ou da técnica de completar quadrado — depois mostro a completar quadrado como verificação.)

Passo 5

Calculemos x_{v}:
x_{v} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-7}{2\cdot 2} = \frac{7}{4}.
Então o vértice está em x=\frac{7}{4}.

Passo 6

Agora calculamos o valor mínimo substituindo x=\frac{7}{4} na função y=2x^{2}-7x. Vou fazer as contas detalhadas com frações:
y\!\left(\frac{7}{4}\right)=2\left(\frac{7}{4}\right)^{2}-7\left(\frac{7}{4}\right).
Calcule cada termo:
\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16},
logo
2\cdot\frac{49}{16}=\frac{98}{16}=\frac{49}{8}.
E
7\cdot\frac{7}{4}=\frac{49}{4}=\frac{98}{8}.
Subtraindo:
y\!\left(\frac{7}{4}\right)=\frac{49}{8}-\frac{98}{8}=-\frac{49}{8}.
Portanto o valor mínimo da função é -\frac{49}{8}.

Passo 7

Verificação alternativa (completar o quadrado) — útil para entender a origem do vértice: escrevemos
y=2x^{2}-7x=2\!\left(x^{2}-\frac{7}{2}x\right).
Agora completamos o quadrado dentro do parêntese:
x^{2}-\frac{7}{2}x=\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}-\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}-\frac{49}{16}.
Multiplicando por 2:
y=2\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}-2\cdot\frac{49}{16}=2\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}-\frac{49}{8}.
Dessa forma fica claro que o menor valor de y ocorre quando o quadrado é zero (ou seja, x=\frac{7}{4}) e o valor mínimo é -\frac{49}{8}. Confere com o cálculo anterior.

Passo 8

Resumo final do raciocínio: como a=2>0 a parábola tem mínimo; o vértice está em x=\frac{7}{4} e o valor mínimo é y_{\min}=-\frac{49}{8}.

Resposta

Mínimo: -\dfrac{49}{8} em x=\dfrac{7}{4}.

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