Sem construir o gráfico, calcule o valor máximo ou mínimo em cada função quadrática.
y=2 x^{2}-7 x
y=2 x^{2}-7 x
Passo 1
O enunciado pede: para a função quadrática
, sem construir o gráfico, calcular o valor máximo ou mínimo.
Informações dadas: a função é . Não há outros dados fornecidos.
Informações dadas: a função é
Passo 2
Identifiquemos os coeficientes da forma geral da parábola. A forma geral de uma função quadrática é
onde
,
e
são números reais (coeficientes). Para a função dada, temos:
Vou usar essas letras sempre que aparecerem fórmulas (por exemplo,
é o coeficiente de
,
de
,
o termo constante).
Passo 3
Saber se é máximo ou mínimo depende do sinal de
. Expliquei isso passo a passo:
- Se
, a parábola “abre para cima” e a função tem um valor mínimo (o vértice é o ponto mais baixo). - Se
, a parábola “abre para baixo” e a função tem um valor máximo.
Aqui, portanto a função tem um valor mínimo (não tem máximo).
Passo 4
Método prático para achar o mínimo: encontrar o vértice da parábola. A abscissa (coordenada
) do vértice pode ser obtida pela fórmula
onde
e
são os coeficientes já identificados. Vou calcular
aplicando essa fórmula. (Explicação rápida de por que isso funciona: a fórmula vem da derivada ou da técnica de completar quadrado — depois mostro a completar quadrado como verificação.)
Passo 5
Calculemos
:
Então o vértice está em
.
Passo 6
Agora calculamos o valor mínimo substituindo
na função
. Vou fazer as contas detalhadas com frações:
Calcule cada termo:
logo
E
Subtraindo:
Portanto o valor mínimo da função é
.
Passo 7
Verificação alternativa (completar o quadrado) — útil para entender a origem do vértice: escrevemos
Agora completamos o quadrado dentro do parêntese:
Multiplicando por
:
Dessa forma fica claro que o menor valor de
ocorre quando o quadrado é zero (ou seja,
) e o valor mínimo é
. Confere com o cálculo anterior.
Passo 8
Resumo final do raciocínio: como
a parábola tem mínimo; o vértice está em
e o valor mínimo é
.
Resposta
Mínimo:
em
.