Construir o gráfico e determinar o conjunto imagem das seguintes funções:
cccx^2-4x+2 & se & x neq-2 3 & se & x=-2

Passo 1

O enunciado pede o gráfico e o conjunto imagem de uma função definida em duas partes: para todo real diferente de –2 temos a expressão racional e em x = –2 um valor atribuído. O conteúdo envolve funções racionais, simplificação por fatoração, análise de descontinuidade removível e determinação de imagem.

Passo 2

Primeiro simplificamos a parte racional para x ≠ –2. Note que x²–4 fatorado é (x–2)(x+2), então
x^2-4x+2=(x-2)(x+2)x+2=x-2,
sempre que x≠–2. A função fica
f(x)=x-2,&xneq-2,3,&x=-2

Passo 3

Para montar o gráfico, observamos que para x≠–2 a curva é a reta y=x–2, mas no ponto x=–2 há um furo em y=(–2)–2=–4. Em x=–2 a função assume o valor 3, então colocamos um ponto cheio em (–2, 3) e um ponto aberto em (–2, –4).

Passo 4

Para achar o conjunto imagem, vemos que a reta y=x–2, com domínio ℝ{–2}, gera todos os valores reais exceto y=–4 (pois para obter –4 precisaríamos x=–2, que está excluído). O ponto isolado em y=3 já está na imagem da reta, então ele não acrescenta nenhum valor novo.

Passo 5

Portanto o conjunto imagem é todos os reais exceto –4.

Resposta

Rsetminus-4

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