Construir o gráfico e determinar o conjunto imagem das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede o gráfico e o conjunto imagem de uma função definida em duas partes: para todo real diferente de –2 temos a expressão racional e em x = –2 um valor atribuído. O conteúdo envolve funções racionais, simplificação por fatoração, análise de descontinuidade removível e determinação de imagem.
Passo 2
Primeiro simplificamos a parte racional para x ≠ –2. Note que x²–4 fatorado é (x–2)(x+2), então
sempre que x≠–2. A função fica
Passo 3
Para montar o gráfico, observamos que para x≠–2 a curva é a reta y=x–2, mas no ponto x=–2 há um furo em y=(–2)–2=–4. Em x=–2 a função assume o valor 3, então colocamos um ponto cheio em (–2, 3) e um ponto aberto em (–2, –4).
Passo 4
Para achar o conjunto imagem, vemos que a reta y=x–2, com domínio ℝ{–2}, gera todos os valores reais exceto y=–4 (pois para obter –4 precisaríamos x=–2, que está excluído). O ponto isolado em y=3 já está na imagem da reta, então ele não acrescenta nenhum valor novo.
Passo 5
Portanto o conjunto imagem é todos os reais exceto –4.