Construir o gráfico e determinar o conjunto imagem das seguintes funções:
rllx^2 & se & -1 <= x <= 1 -2 & se & x<-1 ou x>1

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função definida por partes
A função é
f(x)= x^2, & -1<= x<= 1, -2, & x< -1 ou x>1
O conteúdo envolve analisar funções definidas por partes, esboçar o gráfico e encontrar o conjunto imagem, que é o conjunto de todos os valores que f(x) assume.

Passo 2

Analisando o ramo parabólico f(x)=x^2 para -1<= x<= 1
  • Essa parte é um pedaço da parábola padrão com vértice em (0,0).
  • Em um intervalo fechado, uma função contínua atinge valor mínimo e máximo.
  • Aqui o mínimo é f(0)=0 e os máximos são f(-1)=(-1)^2=1 e f(1)=1^2=1.
  • Logo, nesse ramo a imagem é o intervalo [0,1].

Passo 3

Analisando o ramo constante f(x)=-2 para x< -1 ou x>1
  • É uma reta horizontal em y=-2 nessas regiões.
  • Todo x< -1 e todo x>1 fazem f(x)=-2, então esse ramo contribui com o valor único -2 para a imagem.

Passo 4

Esboço do gráfico combinando os dois ramos
  • No intervalo [-1,1] desenhamos o arco da parábola de vértice (0,0) até os pontos (-1,1) e (1,1).
  • Para x< -1 e x>1 traçamos uma linha horizontal em y=-2.
  • Em x=-1 e x=1 não há conexão contínua entre as partes: nos pontos -1 e 1 o valor é 1, mas imediatamente fora desses pontos vale -2.

Passo 5

Determinando o conjunto imagem
  • Reunimos todos os valores que a função assume nos dois ramos.
  • Do ramo parabólico vem o intervalo [0,1].
  • Do ramo constante vem o valor -2.
  • A imagem é a união desses conjuntos.

Resposta

Im(f)=-2cup[0,1]

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