Construir o gráfico e determinar o conjunto imagem das seguintes funções:
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a função definida por partes
A função é
O conteúdo envolve analisar funções definidas por partes, esboçar o gráfico e encontrar o conjunto imagem, que é o conjunto de todos os valores que
assume.
Passo 2
Analisando o ramo parabólico
para
- Essa parte é um pedaço da parábola padrão com vértice em
. - Em um intervalo fechado, uma função contínua atinge valor mínimo e máximo.
- Aqui o mínimo é
e os máximos são e . - Logo, nesse ramo a imagem é o intervalo
.
Passo 3
Analisando o ramo constante
para
ou
- É uma reta horizontal em
nessas regiões. - Todo
e todo fazem , então esse ramo contribui com o valor único para a imagem.
Passo 4
Esboço do gráfico combinando os dois ramos
- No intervalo
desenhamos o arco da parábola de vértice até os pontos e . - Para
e traçamos uma linha horizontal em . - Em
e não há conexão contínua entre as partes: nos pontos e o valor é , mas imediatamente fora desses pontos vale .
Passo 5
Determinando o conjunto imagem
- Reunimos todos os valores que a função assume nos dois ramos.
- Do ramo parabólico vem o intervalo
. - Do ramo constante vem o valor
. - A imagem é a união desses conjuntos.