Construir o gráfico e determinar o conjunto imagem das seguintes funções:
ccl-x^2+4 & se & -2 <= x <= 0 x^2-2 x+1 & se & 0

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o gráfico de uma função definida por partes e determinar seu conjunto imagem. O conteúdo envolve análise de funções por partes, identificação de tipos (reta constante e parábolas) e obtenção de intervalos de valores. Vamos estudar cada ramo da função, desenhar o correspondente no plano e então achar a coleção de todos os valores que a função assume.

Passo 2

Para x<−2 temos f(x)=−1, ou seja, é uma reta horizontal y=−1 para todo x menor que −2. No gráfico isso aparece como um segmento horizontal que se estende indefinidamente para a esquerda, sempre na altura y=−1.

Passo 3

Para −2≤x≤0 temos f(x)=−x^2+4. Essa é uma parábola voltada para baixo com vértice em x=0. Calculando as extremidades: f(−2)=−(−2)^2+4=0 e f(0)=4. Então, no intervalo [−2,0] a parábola vai de (−2,0) até (0,4), ambos pontos incluídos.

Passo 4

Para 0<x≤2 temos f(x)=x2−2x+1=(x−1)2. É uma parábola voltada para cima com mínimo em x=1: f(1)=0. Nos extremos obtemos f(0^+)=1 (ponto em x=0 não incluído) e f(2)=1 (incluído). Logo, ela vai de um ponto aberto em (0,1) até o ponto fechado (2,1), passando por (1,0).

Passo 5

Agora combinamos tudo num só gráfico, marcando: o ramo constante em y=−1 para x<−2, o segmento de parábola de (−2,0) a (0,4), e o segmento de parábola de (0,1) aberto passando por (1,0) até (2,1). Notamos saltos em x=−2 (de −1 para 0) e em x=0 (de 4 para 1).

Passo 6

Para determinar o conjunto imagem, juntamos os valores obtidos em cada ramo: do ramo x<−2 vem apenas −1; do ramo −2≤x≤0 a parábola atinge todos os valores de 0 até 4; do ramo 0<x≤2 a parábola atinge valores de 0 até 1. Unindo tudo, o conjunto imagem é {−1} ∪ [0,4].

Resposta

O gráfico é a união de uma reta horizontal y=−1 para x<−2, do arco da parábola −x^2+4 em [−2,0], e do arco da parábola (x−1)^2 em (0,2]. O conjunto imagem é {−1} ∪ [0,4].

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