Construir o gráfico, determinar o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado apresenta a função por partes
f(x)= x^3, & x <= 0, 1, & 0<x<2, x^2, & x>=2,
e pede três coisas: (i) esboçar o gráfico, (ii) determinar o domínio, (iii) determinar o conjunto-imagem. Para isso vamos usar noções básicas de função por partes, análise de image de cada trecho e representação gráfica com círculos abertos/fechados nos pontos de transição.
Passo 2
Determinar o domínio de f.
Cada fórmula está definida para um intervalo que, em conjunto, cobre todos os reais:
– x^3 está definido em (-infty,0].
– a constante 1 está definida em (0,2).
– x^2 está definido em [2,infty).
Portanto, o domínio de f é
,xmid x<=0;cup;(0,2);cup;xmid x>=2 ;=;R
Passo 3
Determinar o conjunto-imagem de f.
Analisamos cada trecho separadamente:
Para x<=0, y=x^3 é estritamente crescente e vai de -infty (quando xto-infty) até 0 (em x=0). Logo a imagem desse trecho é
(-infty,0]
Para 0<x<2, y=1 é constante, então contribui com o valor único
1
Para x>=2, y=x^2 é crescente a partir de x=2, dando y=4 em x=2 e indo a +infty conforme xto+infty. Aí a imagem é
[4,infty)
Unindo tudo, o conjunto-imagem é
(-infty,0];cup;1;cup;[4,infty)
Passo 4
Esboçar o gráfico de f:
– No ramo x<=0, desenhe a curva cúbica y=x^3, passando por (0,0) com ponto cheio.
– No intervalo 0<x<2, desenhe uma reta horizontal em y=1, com círculos abertos em (0,1) e em (2,1).
– No ramo x>=2, desenhe a parábola y=x^2, começando em (2,4) com ponto cheio e depois subindo para a direita.
Marque as transições: em x=0 liga-se o fim de x^3 (ponto (0,0) cheio) ao início da constante (aberto em (0,1)); em x=2 há ponto aberto em (2,1) e separado ponto cheio em (2,4).