Marque V (verdadeiro) ou F (falso) para cada item abaixo. Se falso, explique o porquê. Atenção: resposta correta vale +0,25 ponto, sem resposta vale 0 ponto, resposta errada vale -0,25 ponto.
Toda função integrável é contínua.

Passo 1

O enunciado pede para marcar V (verdadeiro) ou F (falso) para a afirmação “Toda função integrável é contínua”. O conteúdo é a relação entre integrabilidade (Riemann, por exemplo) e continuidade, e precisamos usar o fato de que integrabilidade não exige continuidade total.

Passo 2

Uma função f é Riemann-integrável num intervalo se o conjunto de pontos em que ela é descontínua tem medida zero. Isso significa que ela pode ter descontinuidades, desde que sejam “poucas” (por exemplo, um número finito ou contável de pontos).

Passo 3

Por exemplo, defina
f(x)= 1,&x=0, 0,&xneq0
em [0,1]. Essa função tem apenas uma descontinuidade (em x=0), logo o conjunto de descontinuidade tem medida zero, e portanto f é integrável. Mas ela não é contínua em x=0.

Resposta

F – existem funções integráveis que não são contínuas, como o exemplo acima.

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