Construir o gráfico das funções definidas em IR:
f(x)= \begin{cases}-x^{2}+1 & \text { se } x>-2 \\\\ 1 & \text { se } x \leqslant-2\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para construir (desenhar) o gráfico da função definida por partes
f(x)= \begin{cases}-x^{2}+1 & \text{se } x>-2 \\[4pt] 1 & \text{se } x \leqslant -2\end{cases}
Informações dadas:
  • Para x\leqslant -2 a função vale sempre 1.
  • Para x>-2 a função é a parábola f(x)=-x^{2}+1.
  • O ponto de transição entre as duas regras é em x=-2.]

Passo 2

Entendendo e desenhando a parte constante: para x\leqslant -2 temos
f(x)=1.
Isto é uma reta horizontal na altura y=1. Como a condição é \leqslant, no ponto x=-2 essa parte inclui o ponto (-2,1) — desenhe nesse ponto um ponto cheio (ou traço contínuo para a esquerda na linha y=1). Para x\to -\infty essa reta continua indefinidamente em y=1.

Passo 3

Entendendo a parte parabólica: para x>-2 temos
f(x)=-x^{2}+1.
Vamos estudar a forma dessa parábola passo a passo.
  • Reescrevendo por completar quadrado (ou reconhecendo a forma): -x^{2}+1=-(x-0)^{2}+1. Assim a parábola tem vértice em (0,1) e abre para baixo (coeficiente de x^{2} é negativo).
  • Máximo (vértice): (0,1). Esse ponto pertence ao ramo parabólico porque 0>-2.
  • Interseções com o eixo x: resolver -x^{2}+1=0 x^{2}=1, logo x=\pm 1. Portanto a parábola cruza o eixo x em (-1,0) e (1,0); ambos estão no domínio x>-2, então são pontos do gráfico.
  • Valor quando x se aproxima de -2 pela direita: calcule f(-2)= -(-2)^{2}+1 = -4+1 = -3. Como a regra da parábola vale somente para x>-2, no ponto x=-2 a parábola não está definida — então no lugar (-2,-3) teremos um ponto aberto (círculo aberto) indicando que esse valor não pertence ao gráfico.

Passo 4

Comparando as duas partes em x=-2 (cheque de continuidade):
  • Limite pela esquerda (usando a reta): \lim_{x\to -2^-} f(x)=1 e o próprio valor f(-2) pela definição da função (segunda linha) é f(-2)=1 — ponto fechado em (-2,1).
  • Limite pela direita (usando a parábola): \lim_{x\to -2^+} f(x)=-3 e esse ponto (-2,-3) é aberto porque a parábola não inclui x=-2.
    Conclusão: há uma descontinuidade tipo salto em x=-2. No gráfico deve aparecer um ponto cheio em (-2,1) e um círculo aberto em (-2,-3).

Passo 5

Comportamento global e esboço prático:
  • Para x\leqslant -2: desenhe a linha horizontal y=1 para a esquerda até -\infty, e marque o ponto fechado (-2,1).
  • Para x>-2: desenhe a parábola y=-x^{2}+1 apenas para x>-2. Comece pouco à direita de x=-2 num ponto aberto em (-2,-3), suba até o vértice (0,1), passe pelas raízes (-1,0) e (1,0) e continue descendo para -\infty quando |x| cresce.
  • Marque claramente o círculo aberto em (-2,-3) e o ponto cheio em (-2,1). Essas duas marcas enfatizam o salto.

Passo 6

Dicas para desenhar rápido na prova (sem calculadora):
  1. Trace a linha horizontal y=1 e identifique a abscissa x=-2; pinte o ponto (-2,1).
  2. Desenhe a parábola padrão invertida com vértice em (0,1) e raízes em \pm 1, mas corte-a na abscissa x=-2: em x=-2 coloque um círculo aberto em (-2,-3) e não conecte ao ponto cheio (-2,1).
  3. Verifique visualmente que existe um salto entre os dois pedaços em x=-2.

Resposta

Para x\leqslant -2: reta horizontal y=1 (inclui o ponto (-2,1)).\nPara x>-2: parábola y=-x^{2}+1 (ponto aberto em (-2,-3), vértice em (0,1), raízes em (-1,0) e (1,0)).

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