O ponto de transição entre as duas regras é em x=-2.]
Passo 2
Entendendo e desenhando a parte constante: para x\leqslant -2 temos
f(x)=1.
Isto é uma reta horizontal na altura y=1. Como a condição é \leqslant, no ponto x=-2 essa parte inclui o ponto (-2,1) — desenhe nesse ponto um ponto cheio (ou traço contínuo para a esquerda na linha y=1). Para x\to -\infty essa reta continua indefinidamente em y=1.
Passo 3
Entendendo a parte parabólica: para x>-2 temos
f(x)=-x^{2}+1.
Vamos estudar a forma dessa parábola passo a passo.
Reescrevendo por completar quadrado (ou reconhecendo a forma): -x^{2}+1=-(x-0)^{2}+1. Assim a parábola tem vértice em (0,1) e abre para baixo (coeficiente de x^{2} é negativo).
Máximo (vértice): (0,1). Esse ponto pertence ao ramo parabólico porque 0>-2.
Interseções com o eixo x: resolver -x^{2}+1=0 dá x^{2}=1, logo x=\pm 1. Portanto a parábola cruza o eixo x em (-1,0) e (1,0); ambos estão no domínio x>-2, então são pontos do gráfico.
Valor quando x se aproxima de -2 pela direita: calcule f(-2)= -(-2)^{2}+1 = -4+1 = -3. Como a regra da parábola vale somente para x>-2, no ponto x=-2 a parábola não está definida — então no lugar (-2,-3) teremos um ponto aberto (círculo aberto) indicando que esse valor não pertence ao gráfico.
Passo 4
Comparando as duas partes em x=-2 (cheque de continuidade):
Limite pela esquerda (usando a reta): \lim_{x\to -2^-} f(x)=1 e o próprio valor f(-2) pela definição da função (segunda linha) é f(-2)=1 — ponto fechado em (-2,1).
Limite pela direita (usando a parábola): \lim_{x\to -2^+} f(x)=-3 e esse ponto (-2,-3) é aberto porque a parábola não inclui x=-2.
Conclusão: há uma descontinuidade tipo salto em x=-2. No gráfico deve aparecer um ponto cheio em (-2,1) e um círculo aberto em (-2,-3).
Passo 5
Comportamento global e esboço prático:
Para x\leqslant -2: desenhe a linha horizontal y=1 para a esquerda até -\infty, e marque o ponto fechado (-2,1).
Para x>-2: desenhe a parábola y=-x^{2}+1 apenas para x>-2. Comece pouco à direita de x=-2 num ponto aberto em (-2,-3), suba até o vértice (0,1), passe pelas raízes (-1,0) e (1,0) e continue descendo para -\infty quando |x| cresce.
Marque claramente o círculo aberto em (-2,-3) e o ponto cheio em (-2,1). Essas duas marcas enfatizam o salto.
Passo 6
Dicas para desenhar rápido na prova (sem calculadora):
Trace a linha horizontal y=1 e identifique a abscissa x=-2; pinte o ponto (-2,1).
Desenhe a parábola padrão invertida com vértice em (0,1) e raízes em \pm 1, mas corte-a na abscissa x=-2: em x=-2 coloque um círculo aberto em (-2,-3) e não conecte ao ponto cheio (-2,1).
Verifique visualmente que existe um salto entre os dois pedaços em x=-2.
Resposta
Para x\leqslant -2: reta horizontal y=1 (inclui o ponto (-2,1)).\nPara x>-2: parábola y=-x^{2}+1 (ponto aberto em (-2,-3), vértice em (0,1), raízes em (-1,0) e (1,0)).