Construir o gráfico das funções definidas em IR:
f(x)= \begin{cases}x^{2}-4 x+3 & \text { se } x \geqslant 0 \\\ x^{2}+4 x+3 & \text { se } x<0\end{cases}

Passo 1

O que o enunciado pede: construir (desenhar) o gráfico da função definida por partes em \mathbb{R}\): \[f(x)=\begin{cases} x^{2}-4x+3 & \text{se } x\geqslant 0,\\[4pt] x^{2}+4x+3 & \text{se } x<0. \end{cases}
Informações dadas que vamos usar:
  • A função é dada por duas quadráticas diferentes conforme o sinal de x\]. - O domínio inteiro é \(\mathbb{R} (cada ramo cobre parte de \mathbb{R}): o ramo da direita para x\geqslant 0 e o ramo da esquerda para x<0.
    - O objetivo é obter pontos e forma das parábolas para poder desenhar o gráfico (vértices, eixos, zeros, comportamento em infinito, continuidade em 0, etc.).]

Passo 2

Reescrever cada expressão na forma de vértice (completar o quadrado) — isso facilita muito o esboço da parábola porque mostra o vértice e o valor mínimo diretamente.
Para o ramo direito ( x\geqslant 0):
x^{2}-4x+3 = (x^{2}-4x+4)-1 = (x-2)^{2}-1.
Para o ramo esquerdo ( x<0):
x^{2}+4x+3 = (x^{2}+4x+4)-1 = (x+2)^{2}-1.
Explicação rápida do procedimento: completar o quadrado pega x^{2}+bx e transforma em (x+\tfrac{b}{2})^{2} subtraindo o termo extra que foi somado. Aqui isso nos dá formas (x-2)^{2}-1 e (x+2)^{2}-1, que mostram vértices e mínimo.

Passo 3

Encontrar os vértices e o eixo de simetria de cada ramo (daí sabemos onde a parábola tem seu mínimo).
  • Ramo direito ( x\geqslant 0): está na forma (x-2)^{2}-1. O vértice é (2,-1). O eixo de simetria é a reta x=2. O valor mínimo do ramo é -1 em x=2.
  • Ramo esquerdo ( x<0): está na forma (x+2)^{2}-1. O vértice é (-2,-1). O eixo de simetria é x=-2. O valor mínimo do ramo é -1 em x=-2.
Observação importante: ambos os vértices têm ordenada -1; ambos são pontos da função porque -2<0 (vértice esquerdo pertence ao seu ramo) e 2\ge 0 (vértice direito pertence ao seu ramo).

Passo 4

Encontrar as raízes (zeros) de cada quadrática — úteis para posicionar interceptos com o eixo x.
Ramo direito: resolver x^{2}-4x+3=0.
x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3)=0 \quad\Rightarrow\quad x=1 \text{ ou } x=3.
Ambos satisfazem x\ge 0, logo os pontos (1,0) e (3,0) estão no gráfico.
Ramo esquerdo: resolver x^{2}+4x+3=0.
x^{2}+4x+3=(x+1)(x+3)=0 \quad\Rightarrow\quad x=-1 \text{ ou } x=-3.
Ambos satisfazem x<0, logo os pontos (-1,0) e (-3,0) estão no gráfico.

Passo 5

Calcular o valor em x=0 e verificar continuidade em 0.
  • Pelo ramo direito (que vale em x\ge 0), \;f(0)=0^{2}-4\cdot0+3=3.
  • Pelo ramo esquerdo (apenas para limite x\to0^{-}), avaliar a expressão em x=0 formalmente dá também 3. Assim o limite pela esquerda é 3 e o valor da função em 0 (pela definição do ramo direito) é 3.
Conclusão: a função é contínua em x=0 e passa pelo ponto (0,3).

Passo 6

Verificar diferenciabilidade em 0 (isto explica se o gráfico tem uma “quina” em 0 ou é suave).
Calcular derivadas de cada ramo (derivada de x^{2}-4x+3 e de x^{2}+4x+3):
\text{Para } x>0:\; f'(x)=2x-4.
\text{Para } x<0:\; f'(x)=2x+4.
Avaliar os limites das derivadas em 0:
f'_{+}(0)=\lim_{x\to0^{+}}(2x-4)=-4,
f'_{-}(0)=\lim_{x\to0^{-}}(2x+4)=4.
Como f'_{+}(0)\neq f'_{-}(0), a função não é diferenciável em 0 — o gráfico tem uma quina (um canto) no ponto (0,3), com inclinações diferentes à esquerda e à direita.

Passo 7

Comportamento para x\to\pm\infty.
Ambas as expressões são quadráticas com coeficiente de x^{2} positivo, então
\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty} f(x)=+\infty.
Ou seja, as duas “pontas” do gráfico sobem para +\infty.

Passo 8

Listar pontos e características principais para desenhar o gráfico (anote no seu papel esses pontos chave antes de traçar):
  • Vértices: (-2,-1) (ramo esquerdo), (2,-1) (ramo direito).
  • Zeros (interceptos em x): (-3,0),(-1,0),(1,0),(3,0).
  • Intercepto em y: (0,3).
  • Continuidade: função contínua em todo \mathbb{R}, em particular em 0.
  • Não diferenciável em 0: inclinações diferentes à esquerda ( +4) e à direita ( -4).
  • Parâbolas abertas para cima; eixos de simetria x=-2 e x=2 respectivamente.
  • Valores mínimos de cada ramo: ambos alcançam -1 nos vértices, logo -1 é o mínimo global atingido em dois pontos.

Passo 9

Como desenhar o gráfico passo a passo (prático, na folha):
  1. Marque os pontos (-2,-1) e (2,-1) — são os vértices.
  2. Marque os zeros (-3,0),(-1,0),(1,0),(3,0).
  3. Marque o ponto (0,3) — é o ponto de união dos ramos.
  4. Desenhe a parábola esquerda passando por (-2,-1), (-3,0), (-1,0) e definida apenas para x<0. Não desenhe esse ramo para x\ge 0.
  5. Desenhe a parábola direita passando por (2,-1), (1,0), (3,0) e definida para x\ge 0. Inclua o ponto (0,3) no ramo direito (ele contém o ponto).
  6. Observe a quina em (0,3): o ramo esquerdo chega com inclinação aproximada +4 e o direito sai com inclinação aproximada -4. Ligue pontos respeitando essas inclinações para ter a forma correta.
  7. As duas parábolas tendem a crescer para +\infty conforme x\to\pm\infty.
Dica prática: desenhe primeiro os vértices e interceptos e depois passe uma curva suave por eles, lembrando que cada ramo é uma parábola (curvatura regular, simétrica em torno do seu eixo).

Resposta

Para x<0: f(x)=(x+2)^{2}-1 (parábola com vértice em (-2,-1), zeros em -3 e -1).
Para x\ge 0: f(x)=(x-2)^{2}-1 (parábola com vértice em (2,-1), zeros em 1 e 3).
Ponto de união: (0,3).
A função é contínua em 0 e não é diferenciável em 0 (derivadas laterais 4 à esquerda e -4 à direita).

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