Construir o gráfico das funções definidas em IR:
Passo 1
O enunciado pede que eu construa o gráfico da função definida por partes
Informações dadas:
Para
a função é a parábola
.\n
Para
a função é a reta
.\n
O ponto de junção entre as duas definições é
(fronteira entre as duas parcelas).]
Passo 2
Análise da parcela parabólica
(válida para
) — vou extrair as informações essenciais para desenhar a curva.
A parábola tem coeficientes
,
,
.
A posição do vértice é dada pela fórmula do eixo de simetria:
Substituindo
e
:
Agora calculo a ordenada do vértice
substituindo
na função:
Logo o vértice é o ponto
.
As raízes (onde a parábola corta o eixo
) vêm da resolução de
. Fatorando:
Portanto as raízes são
e
. Como a parcela parabólica vale apenas para
, os pontos
e
pertencem ao ramo que vamos desenhar. A parábola abre para cima (pois
), então à direita do vértice cresce para
.
Passo 3
Análise da parcela linear
(válida para
).
É uma reta com declive (coeficiente angular)
e intercepto em
igual a
(pois
). Alguns pontos fáceis para plotar:
Quando
a reta tende a
, mas o ramo da reta não inclui
(o domínio desse ramo é
), portanto na reta a posição correspondente a
é um círculo aberto — a reta aproxima-se desse ponto pela esquerda mas não o contém.
Passo 4
Verificação da continuidade em
e do valor da função em
.
Calculo o limite pela esquerda (usando a reta):
Calculo o limite pela direita (usando a parábola):
O valor da função em
é dado pela parcela que inclui
, isto é a parábola:
Portanto os dois limites laterais coincidem e valem
, e
. Conclusão:
é contínua em
e o ponto
pertence ao gráfico (círculo preenchido).
Passo 5
Verificação de diferenciabilidade em
(útil para entender se o gráfico é “suave” no ponto).
Derivada à esquerda (da reta) é constante:
Derivada à direita (da parábola) é
então em
Como
, a função não é diferenciável em
. Geometricamente isso significa que o gráfico é contínuo em
mas tem um “canto” (mudança brusca de inclinação) nesse ponto.
Passo 6
Instruções passo a passo para desenhar o gráfico na folha (sem usar calculadora):
-
Desenhe os eixos
e com marcas regulares. Marque pelo menos os inteiros e . -
Desenhe a reta
apenas para : - Marque os pontos
e . - Faça a linha passando por esses pontos em direção à esquerda.
- Em
desenhe um círculo aberto em para indicar que a reta não contém esse ponto.
- Marque os pontos
-
Desenhe a parábola
apenas para : - Marque os pontos
, (vértice) e . - Desenhe a curva da parábola passando por esses pontos e continuando para a direita (crescendo para
). - Em
coloque o ponto preenchido (círculo cheio), porque a parcela parabólica inclui .
- Marque os pontos
-
Verifique visualmente: à esquerda de
está a reta; a partir de a parábola toma o gráfico. O gráfico é contínuo em mas tem uma mudança de inclinação (canto).
Passo 7
Pontos-chave para destacar no gráfico (a desenhar):
ponto comum (preenchido),
vértice da parábola,
outra raiz da parábola,
ponto da reta,
ponto da reta.
Resposta
Gráfico formado pela reta
para
(com círculo aberto em
) e pela parábola
para
(com ponto preenchido em
); vértice da parábola em
; raízes da parábola em
e
. A função é contínua em
mas não é diferenciável ali (derivadas laterais
e
).