Construir o gráfico das funções definidas em IR:
f(x)= \begin{cases}x^{2}-4 x+3 & \text { se } x \geqslant 1 \\\ x-1 & \text { se } x<1\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede que eu construa o gráfico da função definida por partes
f(x)= \begin{cases}x^{2}-4x+3 & \text{se } x\ge 1,\\[4pt] x-1 & \text{se } x<1.\end{cases}
Informações dadas:
\;1. Para x\ge 1 a função é a parábola y=x^{2}-4x+3.\n
\;2. Para x<1 a função é a reta y=x-1.\n
\;3. O ponto de junção entre as duas definições é x=1 (fronteira entre as duas parcelas).]

Passo 2

Análise da parcela parabólica y=x^{2}-4x+3 (válida para x\ge 1) — vou extrair as informações essenciais para desenhar a curva.
A parábola tem coeficientes a=1, b=-4, c=3.
A posição do vértice é dada pela fórmula do eixo de simetria:
x_v = -\frac{b}{2a}.
Substituindo a=1 e b=-4:
x_v = -\frac{-4}{2\cdot 1} = \frac{4}{2} = 2.
Agora calculo a ordenada do vértice y_v substituindo x_v=2 na função:
y_v = 2^{2} -4\cdot 2 +3 = 4 -8 +3 = -1.
Logo o vértice é o ponto (2,-1).
As raízes (onde a parábola corta o eixo x) vêm da resolução de x^{2}-4x+3=0. Fatorando:
x^{2}-4x+3 = (x-1)(x-3).
Portanto as raízes são x=1 e x=3. Como a parcela parabólica vale apenas para x\ge1, os pontos (1,0) e (3,0) pertencem ao ramo que vamos desenhar. A parábola abre para cima (pois a=1>0), então à direita do vértice cresce para +\infty.

Passo 3

Análise da parcela linear y=x-1 (válida para x<1).
É uma reta com declive (coeficiente angular) m=1 e intercepto em y igual a -1 (pois y(0)= -1). Alguns pontos fáceis para plotar:
x=0 \Rightarrow y=-1 \quad\text{ponto }(0,-1),
x=-1 \Rightarrow y=-2 \quad\text{ponto }(-1,-2).
Quando x\to 1^{-} a reta tende a y=0, mas o ramo da reta não inclui x=1 (o domínio desse ramo é x<1), portanto na reta a posição correspondente a (1,0) é um círculo aberto — a reta aproxima-se desse ponto pela esquerda mas não o contém.

Passo 4

Verificação da continuidade em x=1 e do valor da função em x=1.
Calculo o limite pela esquerda (usando a reta):
\lim_{x\to 1^-} f(x) = \lim_{x\to 1^-} (x-1) = 0.
Calculo o limite pela direita (usando a parábola):
\lim_{x\to 1^+} f(x) = \lim_{x\to 1^+} (x^{2}-4x+3) = 1 -4 +3 = 0.
O valor da função em x=1 é dado pela parcela que inclui x=1, isto é a parábola:
f(1)=1^{2}-4\cdot1+3 = 0.
Portanto os dois limites laterais coincidem e valem 0, e f(1)=0. Conclusão: f é contínua em x=1 e o ponto (1,0) pertence ao gráfico (círculo preenchido).

Passo 5

Verificação de diferenciabilidade em x=1 (útil para entender se o gráfico é “suave” no ponto).
Derivada à esquerda (da reta) é constante:
f'_-(1)=\frac{d}{dx}(x-1)=1.
Derivada à direita (da parábola) é
f'_+(x)=\frac{d}{dx}(x^{2}-4x+3)=2x-4,
então em x=1
f'_+(1)=2\cdot1-4=-2.
Como f'_-(1)=1\neq -2=f'_+(1), a função não é diferenciável em x=1. Geometricamente isso significa que o gráfico é contínuo em (1,0) mas tem um “canto” (mudança brusca de inclinação) nesse ponto.

Passo 6

Instruções passo a passo para desenhar o gráfico na folha (sem usar calculadora):
  1. Desenhe os eixos x e y com marcas regulares. Marque pelo menos os inteiros x=-1,0,1,2,3,4 e y=-2,-1,0,1,2.
  2. Desenhe a reta y=x-1 apenas para x<1:
    • Marque os pontos (-1,-2) e (0,-1).
    • Faça a linha passando por esses pontos em direção à esquerda.
    • Em x=1 desenhe um círculo aberto em (1,0) para indicar que a reta não contém esse ponto.
  3. Desenhe a parábola y=x^{2}-4x+3 apenas para x\ge 1:
    • Marque os pontos (1,0), (2,-1) (vértice) e (3,0).
    • Desenhe a curva da parábola passando por esses pontos e continuando para a direita (crescendo para +\infty).
    • Em (1,0) coloque o ponto preenchido (círculo cheio), porque a parcela parabólica inclui x=1.
  4. Verifique visualmente: à esquerda de x=1 está a reta; a partir de x=1 a parábola toma o gráfico. O gráfico é contínuo em (1,0) mas tem uma mudança de inclinação (canto).

Passo 7

Pontos-chave para destacar no gráfico (a desenhar):
(1,0) ponto comum (preenchido),
(2,-1) vértice da parábola,
(3,0) outra raiz da parábola,
(0,-1) ponto da reta,
(-1,-2) ponto da reta.

Resposta

Gráfico formado pela reta y=x-1 para x<1 (com círculo aberto em (1,0)) e pela parábola y=x^{2}-4x+3 para x\ge 1 (com ponto preenchido em (1,0)); vértice da parábola em (2,-1); raízes da parábola em (1,0) e (3,0). A função é contínua em x=1 mas não é diferenciável ali (derivadas laterais 1 e -2).

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