f(x)= \begin{cases}x^{2}-2 x & \text { se } x \geqslant 0 \\\\ 1-x & \text { se } x<0\end{cases}
Passo 1
O enunciado pede para construir (desenhar) o gráfico da função definida em \mathbb{R}\) por partes:
\[f(x)= \begin{cases} x^{2}-2x & \text{se } x\geqslant 0,\\[4pt] 1-x & \text{se } x<0. \end{cases}
Informações dadas que são relevantes:
Temos duas expressões distintas: uma quadrática \,x^{2}-2x\,\] válida para \(\,x\ge 0, e uma linear \,1-x\, válida para \,x<0.
A fronteira entre os ramos é em x=0; atenção especial para inclusão/exclusão do ponto x=0 em cada ramo.]
Passo 2
Analisando o ramo para \,x<0: a função é a reta \,y=1-x.
O que é uma reta do tipo \,y=bx+a\,? É uma linha com coeficiente angular (inclinação) \,b\, e intercepto em y igual a \,a.
Aqui temos inclinação \,-1 e intercepto em y igual a \,1. Isso significa que a reta desce uma unidade em y quando x aumenta uma unidade.
Para desenhar uma reta basta dois pontos. Calcule alguns pontos para \,x<0:
Para \,x=-1: \,y=1-(-1)=2, ponto (-1,2).
Para \,x=-2: \,y=1-(-2)=3, ponto (-2,3).
Aproximando x de 0 pela esquerda, \,x\to0^{-}, temos \,y\to 1-0=1. Portanto a reta se aproxima do ponto (0,1) quando x vem da esquerda.
Como este ramo é válido somente para \,x<0, o ponto (0,1) não pertence ao gráfico; então ele deve aparecer como um círculo aberto (ponto não preenchido) no desenho.
Passo 3
Analisando o ramo para \,x\ge 0: a função é a parábola \,y=x^{2}-2x.
Primeiro, vamos entender a forma geral de uma quadrática \,ax^{2}+bx+c: se a>0 a parábola abre para cima; o vértice fica em x_v=-\dfrac{b}{2a} e o valor mínimo (quando a>0) é y_v=f(x_v).
Aqui a=1, b=-2. Calcule o vértice:x_v=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-2}{2\cdot1}=1.Agora y_v=f(1)=1^{2}-2\cdot1=1-2=-1. Logo o vértice é (1,-1).
Podemos reescrever completando o quadrado para ver a forma deslocada:x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1,o que confirma vértice em (1,-1).
Zeros da parábola (onde \,y=0): fatorando,x^{2}-2x=x(x-2),então os zeros são x=0 e x=2. Como o ramo é válido para \,x\ge0, ambos os zeros estão no domínio deste ramo. Portanto os pontos (0,0) e (2,0) pertencem ao gráfico (pontos preenchidos).
Calcule mais alguns valores úteis para desenhar:
x=0\Rightarrow y=0 (já visto).
x=1\Rightarrow y=-1 (vértice).
x=2\Rightarrow y=0.
Para x=3\Rightarrow y=3^{2}-2\cdot3=9-6=3.
Conclusão: a parábola abre para cima, começa em x=0 com (0,0) (incluso), atinge mínimo em (1,-1) e sobe passando por (2,0) e além.
Passo 4
Tratamento da borda x=0 e continuidade:
Pelo ramo esquerdo (reta) o limite à esquerda em x=0 é \displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x)=1 (porque 1-x com x\to0 dá 1).
Pelo ramo direito (parábola) o valor em x=0 é f(0)=0 (e esse ponto pertence ao gráfico porque o ramo direito inclui x=0).
Como \displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x)=1\neq f(0)=0, há uma descontinuidade do tipo salto em x=0. No gráfico isso aparece como um ponto preenchido em (0,0) e um ponto aberto em (0,1).
Em todos os outros pontos cada ramo é contínuo (reta contínua em (-\infty,0) e parábola contínua em [0,\infty)).
Passo 5
Como esquematizar o desenho (passo a passo prático para a prova — sem precisar de régua complicada):
Desenhe e rotule os eixos x e y.
No ramo esquerdo (x<0):
Marque e desenhe os pontos (-1,2) e (-2,3) (ou quaisquer dois) e trace a reta passando por eles até bem próximo de x=0.
Coloque um círculo aberto em (0,1).
No ramo direito (x\ge0):
Marque os pontos (0,0), (1,-1) e (2,0).
Desenhe a parábola suave que passa por esses pontos, com vértice em (1,-1), continuando para a direita subindo.
Preencha o ponto (0,0) (ponto incluído).
Verifique visualmente o salto em x=0: há um ponto preenchido em y=0 e um aberto em y=1.
Adicione setas nas extremidades para indicar comportamento: a reta vai para +\infty em y quando x\to -\infty; a parábola sobe para +\infty em y quando x\to+\infty.
Dica de amigo: no exame, dois ou três pontos bem calculados por ramo + indicação de pontos abertos/fechados e forma (reta/concavidade da parábola) já garantem o gráfico correto — não é preciso calcular dezenas de pontos.
Resposta
Para x<0: reta y=1-x, desenhada para x<0, aproximando-se de (0,1) (ponto em (0,1) aberto).\nPara x\ge 0: parábola y=x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1, vértice em (1,-1), zeros em (0,0) e (2,0); o ponto (0,0) é incluído (ponto preenchido).