A função é dada por duas expressões diferentes, uma válida para \,x<0, e outra para \,x\ge 0.
Domínio implícito: todos os reais \mathbb{R} (as duas peças cobrem todos os x).
Precisamos identificar como são as duas retas, que pontos fixos temos (interceptos), se 0 está incluído em qual ramo e se existe continuidade em x=0.
A resolução seguirá analisando cada ramo separadamente e depois juntando tudo no gráfico.
Passo 2
Análise do ramo para \,x<0: a expressão é \,f(x)=-x.
O que é \,f(x)=-x? É uma reta do tipo \,y=mx+b com coeficiente angular (inclinação) m=-1 e coeficiente linear b=0, pois \,y=-x+0.
Significado de inclinação e intercepto: m=-1 significa que quando x aumenta em 1, y diminui em 1. b=0 significa que a reta cruza o eixo y em (0,0) se considerássemos toda a reta.
Pontos para plotar (escolha alguns valores fáceis):f(-3)=3,\quad f(-2)=2,\quad f(-1)=1,\quad \lim_{x\to0^-}f(x)=0.
Como o ramo vale só para \,x<0, o ponto (0,0) não pertence ao gráfico dessa peça: devemos representá-lo como um círculo aberto (ponto vazio) em (0,0).
Com esses pontos você desenha a parte da reta \,y=-x somente à esquerda do eixo y (para x<0).
Passo 3
Análise do ramo para \,x\ge 0: a expressão é \,f(x)=x+1.
Isto é outra reta do tipo \,y=mx+b com m=1 e b=1, isto é, \,y=x+1.
Significado: inclinação m=1 indica subida de 1 em y para cada +1 em x. Intercepto em y é b=1, portanto a reta cruza o eixo y em (0,1).
Pontos para plotar:f(0)=1,\quad f(1)=2,\quad f(2)=3.
Como esse ramo inclui \,x=0 (pois é \,x\ge 0), o ponto (0,1) faz parte do gráfico e deve ser marcado com ponto cheio (ponto fechado).
Desenhe a reta \,y=x+1 para x\ge 0, começando no ponto fechado (0,1) e indo para a direita.
Passo 4
Continuidade em x=0 e limites laterais:
Limite à esquerda:\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(-x)=0.
Limite à direita:\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(x+1)=1.
Valor da função em 0:f(0)=0+1=1.
Conclusão: os limites laterais são diferentes (0 à esquerda e 1 à direita), há uma descontinuidade do tipo salto em x=0. No gráfico isso aparece como um círculo aberto em (0,0) e um ponto fechado em (0,1).
Passo 5
Análise do comportamento geral e do conjunto imagem (contraste de valores):
Para \,x<0, f(x)=-x>0. À medida que x\to -\infty, f(x)\to +\infty. À medida que x\to0^-, f(x)\to0 (mas 0 não é atingido por esse ramo).
Para \,x\ge0, f(x)=x+1\ge 1. O mínimo dessa peça é 1 (no ponto x=0).
União das imagens: a peça esquerda gera todos os valores (0,\infty) (note que atinge 1 por exemplo em x=-1), a peça direita gera [1,\infty). A união é\text{Im}(f)=(0,\infty).
Observação: o valor 0 não pertence à imagem porque só aparece como limite à esquerda, não é alcançado por nenhum x.
Passo 6
Como desenhar passo a passo (pra você fazer à mão na prova):
Desenha os eixos coordenados x e y.
Marque os pontos importantes: (0,0) e (0,1).
Para x<0: plota pontos (-3,3),(-2,2),(-1,1) e desenha a reta passando por eles somente à esquerda do eixo y. Em (0,0) coloque um círculo aberto (porque x=0 não pertence a esse ramo).
Para x\ge0: plota (0,1),(1,2),(2,3) e desenha a reta \,y=x+1 para x\ge0. Em (0,1) coloque ponto cheio (incluso).
Verifique visualmente o salto em x=0: existe uma distância vertical entre o ponto aberto (0,0) e o ponto fechado (0,1).
Dica prática: ligue os pontos com uma régua porque são retas; não ligue a parte esquerda com a direita no x=0 — mantenha o espaço (o círculo aberto) correto.
Passo 7
Resumo intuitivo e cheirinho final de confiança:
A parte esquerda é a reta decrescente \,y=-x para x<0 (aberta em (0,0)).
A parte direita é a reta crescente \,y=x+1 para x\ge0 (fechada em (0,1)).
Há salto em x=0 e a imagem da função é (0,\infty).
Vai dar certo — desenha com calma os pontos que dei e liga com régua.
Resposta
Gráfico: reta \,y=-x para x<0 (representada até (0,0) com círculo aberto) e reta \,y=x+1 para x\ge 0 (iniciando em (0,1) com ponto fechado), com salto em x=0.\nImagem: (0,\infty).