Mostre que:
Passo 1
O enunciado dá a série infinita
e afirma que essa soma é igual a
. Nossa tarefa é analisar essa soma e mostrar o seu valor correto.
Passo 2
Vamos lembrar (e justificar) a fórmula de série de potências que vamos usar. Começamos pela série geométrica alternada para
. Para
vale
Explicação didática: a série geométrica padrão é
para
. Se tomarmos
obtemos
. Aqui
é a variável da série e a condição
garante convergência.
Passo 3
Agora integramos termo a termo a igualdade da Passo 2 no intervalo de
até
. A integração termo a termo é permitida dentro do raio de convergência de uma série de potências. Integrando
de
até
obtemos
(a primitiva de
é
). Integrando o lado da série termo a termo:
Reescrevendo o índice
(assim
vai de
a
) obtemos a fórmula clássica:
válida para
(no interior do raio
a convergência é absoluta; em
há convergência condicional ao valor
).
Passo 4
Agora aplicamos essa identidade com
. Observação:
satisfaz
, então a substituição é legítima e a série converge. Substituindo:
Calculemos o argumento do logaritmo:
Portanto a soma vale
Passo 5
Para ter intuição numérica rápida:
. Isso pode ser conferido computando os primeiros termos parciais da série e vendo que convergem para esse número. Por exemplo, os primeiros termos da série são
e somam-se rapidamente para um valor perto de
.
Passo 6
Comparação com a afirmação do enunciado:
é aproximadamente
, portanto
. Conclusão: a igualdade proposta no enunciado é incorreta; o valor correto da soma é
.