Mostre que:
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1} \frac{\left(\frac{4}{5}\right)^{k}}{k}=\frac{4}{5}-\frac{\left(\frac{4}{5}\right)^{2}}{2}+\frac{\left(\frac{4}{5}\right)^{3}}{3}-\frac{\left(\frac{4}{5}\right)^{4}}{4}+\frac{\left(\frac{4}{5}\right)^{5}}{5}-\frac{\left(\frac{4}{5}\right)^{6}}{6} \ldots=\ln 5

Passo 1

O enunciado dá a série infinita
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{\left(\frac{4}{5}\right)^{k}}{k}
e afirma que essa soma é igual a \ln 5. Nossa tarefa é analisar essa soma e mostrar o seu valor correto.

Passo 2

Vamos lembrar (e justificar) a fórmula de série de potências que vamos usar. Começamos pela série geométrica alternada para \frac{1}{1+x}. Para |x|<1 vale
\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n.
Explicação didática: a série geométrica padrão é \sum_{n=0}^\infty r^n = \frac{1}{1-r} para |r|<1. Se tomarmos r=-x obtemos \sum_{n=0}^\infty (-x)^n=\frac{1}{1-(-x)}=\frac{1}{1+x}. Aqui x é a variável da série e a condição |x|<1 garante convergência.

Passo 3

Agora integramos termo a termo a igualdade da Passo 2 no intervalo de 0 até x. A integração termo a termo é permitida dentro do raio de convergência de uma série de potências. Integrando \frac{1}{1+t} de t=0 até t=x obtemos \ln(1+x) (a primitiva de 1/(1+t) é \ln(1+t)). Integrando o lado da série termo a termo:
\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t}\,dt = \int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n t^n\,dt
\ln(1+x) = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}.
Reescrevendo o índice k=n+1 (assim k vai de 1 a \infty) obtemos a fórmula clássica:
\ln(1+x)=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{x^{k}}{k},
válida para -1<x\le 1 (no interior do raio |x|<1 a convergência é absoluta; em x=1 há convergência condicional ao valor \ln 2).

Passo 4

Agora aplicamos essa identidade com x=\frac{4}{5}. Observação: \frac{4}{5} satisfaz -1<x<1, então a substituição é legítima e a série converge. Substituindo:
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{\left(\frac{4}{5}\right)^{k}}{k} = \ln\!\left(1+\frac{4}{5}\right).
Calculemos o argumento do logaritmo:
1+\frac{4}{5}=\frac{5}{5}+\frac{4}{5}=\frac{9}{5}.
Portanto a soma vale
\ln\!\left(\frac{9}{5}\right).

Passo 5

Para ter intuição numérica rápida: \ln\!\left(\tfrac{9}{5}\right)=\ln(1{,}8)\approx 0{,}5878. Isso pode ser conferido computando os primeiros termos parciais da série e vendo que convergem para esse número. Por exemplo, os primeiros termos da série são
\frac{4}{5}-\frac{(4/5)^2}{2}+\frac{(4/5)^3}{3}-\frac{(4/5)^4}{4}+\cdots
e somam-se rapidamente para um valor perto de 0{,}5878.

Passo 6

Comparação com a afirmação do enunciado: \ln 5 é aproximadamente 1{,}6094, portanto \ln\!\left(\tfrac{9}{5}\right)\neq\ln 5. Conclusão: a igualdade proposta no enunciado é incorreta; o valor correto da soma é \ln\!\left(\tfrac{9}{5}\right).

Resposta

\displaystyle \ln\!\left(\tfrac{9}{5}\right)

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